Günlük hayatta karşılaştığımız bazı problemleri matematiksel ifadelere başvurarak bu sorunları matematik diline aktarabilir ve sorunların çözümünde matematiksel işlemlerin yardımına başvurabiliriz. Başka bir deyişle, matematiksel değişkenlerle kurulan denklemin çözümü sonucu verir.
Problemler kendi içerisinde
- Sayı ve kesir
- Yaş
- Yüzde
- Karışım
- Hareket
- İşçi ve havuz
gibi alt başlıklara ayrılır.
Problemler çözülürken genellikle aşağıdaki adımlar takip edilir:
- Problemde kullanılacak veri veya veriler belirlenir.
- Problemde istenen veri veya veriler belirlenir.
- İstenen veriye uygun bir değişken seçimleri yapılır.
- Verilere göre denklem veya eşitsizlik yazılır.
- Yazılan denklem veya eşitsizlik çözülür.
📝Önemli Not: Denklem kurulurken veya problem matematik diline çevrilirken birbirinden bağımsız her bilinmeyen farklı sembolle gösterilir.
🚀 İpucu: Problemin çözülebilmesi için de seçilen bilinmeyen sayısı kadar denkleme ihtiyaç vardır.
Sayı ve Kesir Problemleri
Sayı ve kesir problemlerinde matematiksel dönüşümü yapmak sorunun çözümü için çok önemlidir. Aşağıda bazı ifadelerin matematiksel hale dönüştürülmesine örnekler verilmiştir.
| Metin İfadesi | Matematiksel Denklemi |
|---|---|
| Bir sayının beş eksiği | x-5 |
| Bir sayının 10 katı | 10x |
| Bir sayının karesi | x2 |
| Bir sayının 5 eksiğinin yarısı | |
| Bir sayının sekizde beşi | |
| Bir sayının küpü ile 2 katının toplamı 5 ise | x3 +2x = 5 |
| İki sayının birinin dört katı diğerinin iki katının 5 fazlasına eşit ise | 4x = 2y + 5 |
| İki sayının toplamının bir fazlasının küpü | (x+y+1)3 |
| Bir sayının 2 katının küpünün 3 fazlasının yarısı diğer sayının küpünün dörtte üçüne eşittir. | |
| İki sayının toplamı 5 ise | 1. Sayı = x 2. Sayı = x+5 |
| İki sayıdan birinin 6 katı, diğerinin 7 katına eşitse | 1. Sayı = 7x 2. Sayı = 6x |
| Ardışık üç sayının toplamı | (x-1)+(x)+(x+1) = 3x |
| Ardışık iki tam sayının kareleri toplamı | = (x+1)2 + x2 = x2+2x+1+x2 = 2x2 + 2x + 1 |
| Metin İfadesi | Matematiksel Denklemi |
🎯 Örnek: On ikide biri sekizde birinden 1 eksik olan sayı kaçtır?
✍ Çözüm: Verilen cümleyi matematiksel olarak ifade edersek şeklinde yazılır. Paydalar eşitlenir ise ifade olur. Paydalar sadeleşir ise 2x=3x-24 olur. x=24 bulunur.
🎯 Örnek: Bir bilgi yarışmasında kurallara göre, yarışmacılar her doğru cevap için 25 puan kazanırken her yanlış cevap için 5 puan kaybetmektedir. 10 soruya cevap veren bir yarışmacı 130 puan aldığına göre kaç yanlış cevap vermiştir?
✍ Çözüm:
- Verilen bilgilere göre bilgi yarışmasında doğruları “d” yanlışları “y” ile belirtelim.
- Bu durumda yarışmacının aldığı puanı denklem halinde yazarsak (25 puan)d-(5 puan)y=130 puan denklemi oluşur.
- Ayrıca ikinci bir denklem olarak da d+y=10 yazılır
- Denklem y = 10-d şeklinde yazılıp ilk denklemde y yerine 10-d yazılır ise,
- 25d – 5(10-d)=130 halini alır.
- Denklem düzenlenir ise d=6 bulunur.
- 10 soru olduğuna göre yanlış sayısı 4 tür.
Yaş Problemleri
Yaş problemlerinin çözümünde kullanılabilecek aşağıdaki bağıntıları inceleyiniz.
x kişinin bugünkü yaş ortalaması k olsun. a yıl sonraki yaş ortalaması: k a + olur. a yıl önceki yaş ortalaması: k a – olur.
| Metin İfadesi | Matematiksel Denklem |
|---|---|
| Bir kişinin bugünkü yaşı x ise | – y yıl sonraki yaşı: x + y olur. – y yıl önceki yaşı: x – y olur. |
| İki kişinin yaşları x ve y ise | – Yaşları toplamı: x + y olur. – a yıl sonraki yaşları toplamı: x+a+ y+a= x+y+2a olur. – a yıl önceki yaşları toplamı: x + y – 2a olur. |
| İki kişi arasındaki yaş farkı daima sabittir. Yılların değişimi bu farkı etkilemez. | – İki kişinin yaşları farkı x ise 10 yıl sonraki yaşları farkı da 10 olur. |
| x kişinin bugünkü yaş ortalaması k ise | – a yıl sonraki yaş ortalaması: k + a olur. – a yıl önceki yaş ortalaması: k – a olur. |
🎯 Örnek: On yıl önce Ahmet ve Seda’nın yaşları toplamı 49 olduğuna göre, 8 yıl sonraki yaşları toplamı kaçtır?
✍ Çözüm: Ahmet ve Seda’nın 10 yıl önceki yaşları toplamı 49 ise bugünkü yaşları toplamı 49+20 olur. 8 yıl sonraki yaşları ise 49+20+16=85 bulunur.
🎯 Örnek: Bir babanın yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının 3 katıdır. Çocukların yaşları toplamı babanın bugünkü yaşına geldiğinde baba 40 yaşında oluyor. Buna göre çocukların bugünkü yaşları toplamı kaçtır?
✍ Çözüm:
- Verilenlere göre çocukların bugünkü yaşları toplamı x, babanın bugünkü yaşı da 3x olsun.
- Çocukların yaşlarının toplamının babanın yaşına gelmesi için x yıl geçmesi gerekmektedir. Böylece bugünden x yıl sonra çocukların yaşları toplamı 3x edecektir.
- X yıl geçtiğinde babanın yeni yaşı 4x olduğuna göre; 4x = 40 denklemi kurulur.
- Yani x = 10 olarak bulunur.
- Çocukların bugünkü yaşları toplamı x’e eşit olduğu için, çocukların bugünkü yaşları toplamı 10’dur.
Yüzde Problemleri
📝 Tanım: Yüzde ifadesi, paydası 100 olan kesirler için kullanılır ve % sembolü ile gösterilir. %20 yüzde yirmi diye okunur ve %20 = şeklinde yazılır.
- Bir x sayısının yüzde a’sı ile hesaplanır.
- Yüzde a’sı K olan sayının tamamı y ise y = K. ile hesaplanır.
- 2x sayısının %50 artması demek 3x olması demektir.
- 2x sayısının %50 azalması demek x olması demektir.
- x sayısının %100 artması demek 2x olması demektir.
- x sayısının %100 azalması demek 0 olması demektir.
- x sayısının %200 artması demek 3x olması demektir.
- x sayısının %200 azalması demek -2x olması demektir.
- 25 in %20 si 25.=5 olur.
- %25 i 30 olan sayı x.=30 ise x=120 olur.
🎯 Örnek: Bir karenin bir kenar uzunluğu %50 artırılırsa alanı yüzde kaç artar?
✍ Çözüm: Karenin bir kenar uzunluğu 10x olsun ve alanı 100x olur. Kenar uzunluğu %50 artırılır ise 15x olur ve alanı 225x olur. Bu durumda alan 125x artmış olur yani alan %125 artmış olur.
🎯 Örnek: Bir seramik fabrikasında üretim yapan işçilere reçete verilmektedir ve reçeteye uyarak karışım hazırlamaları istenmektedir. Reçete aşağıdaki gibidir fakat reçetede yer alan bazı bölümler silinmiştir.
| Kil | Feldspat | Kaolen | Su | |
|---|---|---|---|---|
| Yüzde oranı (%) | 24 | |||
| Ağırlık | 180 | 280 | 240 |
1 ton karışım hazırlamak isteyen işçiler ne kadar su kullanmalıdır?
✍ Çözüm:
- Verilen tabloda Kaolen 240 kg kullanıldığında bunun karışıma oranı %24 olduğuna göre %24 240 ise %100 1000 kg olur.
- 1000 kg karışım için suyun ne kadar gerektiğini bulmak için
- 1000-(280+240+180)=300 bulunur.
Kâr Zarar Problemleri
Kâr ve zarar problemleri, genellikle işletmelerin ve kişilerin finansal durumunu değerlendirmek için kullanılan matematik problemleridir. Bu tür problemler, belirli bir işlem veya süreç sonucunda ne kadar kâr veya zarar edildiğini belirlememize yardımcı olur.
Kâr veya zarar, genellikle bir ürünün satış fiyatı ile maliyeti arasındaki farka dayanır. Eğer satış fiyatı maliyetten yüksekse, kâr edilmiş olur. Eğer maliyet satış fiyatından yüksekse, zarar edilmiş olur.
Kâr zarar problemlerinde genellikle 100x alış fiyatı belirlemek işlem kolaylığı sağlamaktadır. Buna ek olarak, aşağıdaki bağıntılar problem çözümünde faydalı olur.
| Metin İfadesi | Matematiksel Denklem |
|---|---|
| Kâr = Satış fiyatı – Maliyet fiyatı | Zarar = Maliyet fiyatı – Satış fiyatı |
| Kâr Yüzdesi Hesaplama Formülü | |
| A liralık bir ürüne %x indirim yapıldığında ürünün yeni fiyatı: | |
| %x zam yapıldığında fiyat |
🎯 Örnek: Bir satıcı aldığı 10 adet pantolonu %25 kar ekleyerek satmaktadır. 4 ürün sattıktan sonra satış fiyatı üzerinden %10 indirim yapıp tüm ürünleri sattığına göre, satıcı bu pantolonlardan toplam yüzde kaç kar etmiştir?
✍ Çözüm:
- Pantolonun alış fiyatı 100x olsun bu durumda satıcı 100x.10=1000x para harcayarak 10 pantolon almıştır.
- 4 adet pantolonu %25 kar ile yani 125x e sattığına göre 125x.4=500x para kazanır.
- Daha sonra 125x üzerinden %10 indirim yaptığına göre fiyata satış yapmıştır.
- 112,5x ten 6 adet pantolon satışı yaptığında 675x para kazanır.
- Yani özetle 125x fiyattan satışla 500x ve 112,5x fiyattan satışla 675x kazanır. Toplamda 1175x para kazanmış olur.
- 1000x te 175x kar elde eden satıcı 100 de 17,5 kar eder.
- Yani toplam kar oranı %17,5’tir.
🎯 Örnek: Bir sayının %20 inin %50 sine 6 eklendiğinde sayının %50’si elde edildiğine göre sayı kaçtır?
✍ Çözüm: İstenilen sayı 100x ise %20’si 20x yapar ve bunun %50’si 10x olur. 10x+6=50x olduğuna göre 40x=6 olur. 20x=3 ve 100x=15 bulunur
Faiz Problemleri
Faiz problemleri, genellikle finansal matematik içerisinde karşımıza çıkan ve yatırımlar, borçlar, yüzdelik artışlar ve azalışlar gibi durumları inceler. Faiz oranları ve zamanın para üzerindeki etkisini hesaplamamızı sağlar.
- Bankaya yatırılan anapara: A
- faiz oranı: n
- zaman: t
- faiz getirisi: F ise
A TL nin yıllık %n faiz oranıyla faiz getirisi aşağıdaki gibi hesaplanır.
- t yılında
- t ayda
- t günde
🎯 Örnek: Bir miktar parası olan Ali parasını yıllık %20 faiz ile bankaya yatırıyor. 1. yılın sonunda ise faiziyle birlikte tekrar 1 yıllığına %15 faiz ile bankaya yatırıyor. 2. yılın sonunda toplam faiz getirisi 7600 TL olduğuna göre Ali’nin 2 yılın sonundaki parası kaçtır?
✍ Çözüm:
- Alinin başlangıçtaki parasına 100A diyelim ve 1 yıllık faiz sonucu elde edeceği faiz miktarı olur.
- Bu durumda 2. yıl için faize yatırdığı para 120A olur ve 2. yılın sonundaki faiz miktarı olur.
- Sonuç olarak 20A+18A=7600 TL yani A=200 bulunur.
- Bu durumda Ali’nin başlangıçtaki parası 200.100=20 000 TL bulunur.
- 2 yılın sonunda ise 27 600 TL olarak bulunur.
Karışım Problemleri
Karışım problemleri, genellikle oran ve yüzde konularında kullanılan ve farklı maddelerin veya maddelerin belirli oranlarda karıştırılmasını inceleyen problemlerdir. Bu problemler, özellikle kimya, yemek pişirme, inşaat ve benzeri birçok alanda karşılaşılan durumları matematiksel olarak anlamamıza yardımcı olur. Karışımlar 2 veya daha fazla maddenin birbiri içinde karışımı ile oluşur.
Karışım probleminde aşağıdaki bağıntılar kullanılır.
Yukarıda verilen karışımın tuz yüzdesi: dir.
🎯 Örnek: Tuz oranı %30 olan 150 g tuzlu sudaki tuz ve su miktarı nedir?
✍ Çözüm: Tuz oranı= su oranı ise 100-45=55 g bulunur.
🎯 Örnek: Şeker oranı %40 olan 250 g şekerli suya kaç gram su eklenir ise şeker oranı %20 olur?
✍ Çözüm:
- Formül yukarıda verilildiği gibidir.
- Verilen probleme uyarlanır ise saf suyun şeker oranı %0 dır. y gram su eklendiğine göre
- Şeker yüzdesi=c=20 = y=250 g bulunur.
- Bu durumda 250 gram su eklendiğinde karışımın şeker oranı %20 olur.
Hareket Problemleri
Hız ve hareket problemlerinde hız=v zaman=t ve yol=x ile ifade edilir. Hareket problemlerinde aşağıdaki bağıntılar kullanılır.
V1 ve V2 hızlarıyla alınan yollar eşit ise (Bu eşitlik aynı yoldan gidip gelen sorularda kullanılır.)
🚨 Önemli:Hız, yol ve zaman arasında daima bir orantı vardır.
Hız, yol ile doğru; zaman ile ters orantılıdır.
Yol ile zaman doğru orantılıdır.
🚨 Önemli: Bir araç bir noktadan geçerken kendi boyu, belli bir uzunluğu geçerken hem kendi boyu hem de geçtiği uzunluğun toplamı kadar yol kat eder.
V km/sa.=={V.1000 \over 60.60}€€m/sn.
🎯 Örnek: Saatte 90 km ile hareket eden bir aracın 5 dk da alacağı yol kaç metredir?
✍ Çözüm: V= 90km/sa.==1500 m/dk x=V.t formülünden x=1500.5=7500m dir.
İşçi Problemleri
İşçi problemleri matematikte özellikle oran ve orantı konularında karşımıza çıkan ve günlük yaşamda da sıkça rastladığımız durumları anlamamıza yardımcı olan problem türüdür.
Bu tür problemlerde genellikle belirli bir işin ne kadar sürede tamamlanacağına veya farklı hızlarda çalışabilen işçilerin bir işi ne kadar sürede bitireceğine dair sorulara yanıt aranır.
🚀 İpucu: İşçi ve havuz problemlerinde birim zamanda yapılan iş miktarları dikkate alınarak denklemler oluşturulur.
🎯 Örnek: Bir çiftçi, tarlasındaki buğdayları 5 gün boyunca toplayabilmektedir. Ancak çiftçinin bir komşusu da yardım etmeye karar verirse, buğdaylar 3 günde toplanabiliyor. Eğer çiftçinin komşusu tek başına aynı işi yaparsa bu işi kaç günde tamamlar?
✍ Çözüm:
- İlk durumda çiftçi tek başına 5 gün boyunca çalışıyor. İkinci durumda ise çiftçi ve komşusu birlikte 3 günde bu işi tamamlıyorlar.
- Çiftçinin tek başına yaptığı işi 1 birim olarak kabul edersek, her gün 1/5 birim iş yapar.
- Çiftçi ve komşusu birlikte çalıştıklarında ise her gün 1/3 birim iş yaparlar.
- Komşunun günlük iş yapma kapasitesini X olarak kabul edersek aşağıdaki eşitliği kurabiliriz.
- 1/5 + X = 1/3
- X = 1/3 – 1/5
- X = 2/15 olarak bulunur. Yani komşu her gün bu işin 2/15’ini yapabilir.
- Bir işin tamamını yani 1 birimlik işi kaç günde yapacağını bulmak için, 1’i X’e böleriz.
- 1 / (2/15) = 7.5
- Sonuç olarak, çiftçinin komşusu bu işi tek başına 7.5 günde tamamlayabilir.
Havuz Problemleri
Havuz problemleri, genellikle oran ve orantı konularında karşımıza çıkan ve özellikle su taşıma, doldurma veya boşaltma durumlarını inceleyen matematik problemleridir. Bu problemler, farklı hızlarda çalışan pompaların bir havuzu ne kadar sürede dolduracağını veya boşaltacağını belirlememize yardımcı olur.
🎯 Örnek: Bir havuzu doldurmak için kullanılan A pompası, havuzu tek başına 5 saatte doldurabiliyor. Diğer bir pompası olan B, aynı havuzu 3 saatte doldurabiliyor. Eğer her iki pompa birlikte çalışırsa, havuzu ne kadar sürede doldurur?
✍ Çözüm:
- Burada, A pompasının bir saatte doldurduğu su miktarını havuzun kapasitesinin 1/5, B pompasının bir saatte doldurduğu su miktarını havuzun kapasitesinin 1/3 olarak düşünebiliriz.
- Birlikte çalıştıklarında, bir saatte doldurdukları su miktarını bulmak için bu iki oranı toplayabiliriz.
- 1/5 + 1/3 = 8/15
- Bu sonuç, her iki pompası birlikte çalıştırıldığında bir saatte havuzun 8/15’ini doldurabileceğimizi göstermektedir.
- Havuzun tamamını, yani 1 birimlik suyu doldurmak için ne kadar zaman gerektiğini bulmak için 1’i bu orana böleriz.
- 1 / (8/15) = 1.875 saat
- Sonuç olarak, A ve B pompaları birlikte çalıştırıldığında havuzu yaklaşık 1.875 saatte doldurur.
