Trigonometrik Denklemler

📅 28 Ağustos 2021|20 Şubat 2022
Güncel
Trigonometrik Denklemler

Konu Özeti

İçinde trigonometrik fonksiyonların bulunduğu denklemlere trigonometrik denklemler denir. Farklı şekillerde bulunan denklemlerin hepsinin farklı yöntemlerde çözümleri bulunur.

Bu konuda
  • Her bir trigonometrik denklemin farklı yollarla çözüm kümelerini bulmayı
öğreneceksiniz.

sinx=a, cosx=a ve tanx=a Biçimindeki Trigonometrik Denklemler

sinx=a Denklem Çözüm Kümesi

Sinüs fonksiyonunda bir açının kendisiyle bu açının π açısından çıkartılmış hali aynı sonucu vermektedir. Aynı zamanda sinüsün periyodu 2π olduğu için bu açılara 2π eklediğimizde sonuç değişmeyecektir. sinx=a denkleminde köklerden birini olarak aldığımızda denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olacaktır.

Örnek olarak durumunda açısının alabileceği değerler aşağıdaki sinüs grafiğinde verilmiştir.

y=sinx Grafiği

cosx=a Denklem Çözüm Kümesi

Kosinüs fonksiyonunda bir açının kendisiyle bu açının negatif işaretli hali aynı sonucu vermektedir. Sinüs fonksiyonu gibi kosinüste de periyodumuz 2π olduğu için her 2π de bir sonuç tekrar edecek. cosx=a denkleminde köklerden birini olarak aldığımızda denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olacaktır.

Örnek olarak durumunda açısının alabileceği değerler aşağıdaki kosinüs grafiğinde verilmiştir.

y=cosx Grafiği

tanx=a Denklem Çözüm Kümesi

Tanjant fonksiyonunun periyodu π olduğu için bir açıya her π açısını ekleyip veya çıkarttığımızda aynı sonucu alacağız. tanx=a denkleminde köklerden birini olarak aldığımızda denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olacaktır. Tanjantta geçerli olan her şey kotanjant için de geçerlidir.

Örnek olarak durumunda açısının alabileceği değerler aşağıdaki tanjant grafiğinde verilmiştir.

y=tanx Grafiği

sinf(x)=a, cosf(x)=a ve tanf(x)=a Biçimindeki Trigonometrik Denklemler

Trigonometrik denklemlerde çözüm kümesini bulmak istediğimizde trigonometrik fonksiyonu tek başına kalacak şekilde düzenleriz. Trigonometrik fonksiyonun açısı her zaman bir açı olmayabilir. Bu açılar da denklem şeklinde verilebilir ve denklemin eşit olabileceği her sonuca eşitleyerek denklemi çözmek gerekir.

Örnek olarak sinüs fonksiyonu üzerinden bir örnek vermek istersek denklemi için önce sinüsü yalnız bırakırız ve karşıdaki değere göre sinüsün alacağı açıları bularak sinüsün içinde yazan değere eşitleyerek çözebiliriz.

Burada karşımıza iki seçenek çıkmaktadır. İlk olarak sonucunu sinüste açısı ile üzerine 2π ve katlarını eklediğimizde bulabiliriz. Diğer bir durum ise açısını π açısından çıkartarak sinüste yine aynı sonucu veren diğer açıyı buluruz. Böylelikle açısı ile üzerine 2π ve katlarını eklediğimiz durumları da alabiliriz. Sonuç olarak sinüsün içerisindeki açısını bulduğumuz bu iki durumdaki açılara eşitleyerek açısının alabileceği tüm değerleri yani çözüm kümesini bulabiliriz.

veya

Çözüm kümesi

Trigonometrik Denklemlerin Çarpanlarına Ayırarak Çözümü

Trigonometrik denklemlerde ortak olan bir trigonometrik ifadeyi onun parantezine alarak alabileceği değerlere bakabiliriz, yalnız bırakabiliriz veya üslü bir ifade varsa bir harf tanımlayarak denklemi çözerek sonuçları trigonometrik ifadeye eşitleyebiliriz. Aşağıda bu durumla ilgili örneğimizi inceleyelim.

trigonometrik denklemi çözmek istersek gördüğümüz yerlere x koyarak denklemi çözeriz ve x bilinmeyeninin alabileceği değerleri ile eşitleyerek mümkün olan çözüm kümesine ulaşabiliriz.

Sinüs [-1,1] aralığında bir değer aldığı için 2’ye eşit olamaz bu yüzden ilk çözüm kümemiz boş oldu. Diğer tarafta sinüsün ‘ye eşit olduğu değerler çözüm kümemiz olacaktır.

Trigonometrik Özdeşlikler Yardımı İle Çözülebilen Denklemler

Bazı trigonometrik denklemlerde trigonometrik ifadelerin açıları her zaman eşit olmayabilir. Trigonometrik ifadeleri bir başka ifadeye çevirebilmek veya sadeleştirmeler yapabilmek için açılarının eşit olması gerekir. Açılarının eşit olmadığı denklemlerde toplam-fark ve yarım açı formüllerinden yararlanabiliriz. Aşağıda bu durumla ilgili örneğimizi inceleyelim.

Denkleminin [0,2π) aralığındaki çözüm kümesini bulalım.

Öncelikle paydaları eşitleyelim.

Pay kısmını incelediğimizde bunun bir sinüs fark formülünün açılımı olduğunu görüyoruz. Payı fark formülüne göre toparlayıp yarım açı formülüyle açarsak, paydayı da yine yarım açı formülüyle açısını iki katına çıkartırsak pay ve paydanın açısını da eşitleyebiliriz.

Gerekli sadeleştirmeleri yapınca açısının π ve katları şeklinde gittiğini görüyoruz. Bizim belirlediğimiz [0,2π) aralığı için köklerini bulup çözüm kümesini yazalım.

sinf(x)=sing(x) Denkleminin Çözüm Kümesi

Aynı bilinmeyene sahip iki farklı fonksiyonun sinüsü birbirine eşit olduğunda bir fonksiyonu bilinmeyen diğer fonksiyonu da direkt bir açı değeri gibi düşünerek sinx=a gibi bir denklem oluşturacağız.

Bildiğimiz üzere bir açı ve bu açının π’den çıkartılmış hali sinüste aynı sonucu vermektedir. Aynı bu mantıkla bir fonksiyon diğer fonksiyonun üzerine eklenmiş haline eşit olabilirken aynı zamanda bir fonksiyon diğer fonksiyonun π’den çıkartılmış halinin üzerine eklenmiş şekline eşit olabilir. Bunu bir örnekle pekiştirelim.

denklemini çözelim.

1. Eşitlik

2. Eşitlik

Burada iki farklı çözüm kümesi bulduk. Bunları tek bir çözüm kümesinde birleştirelim.

cosf(x)=cosg(x) Denkleminin Çözüm Kümesi

Aynı sinüste olduğu gibi fonksiyonların kosinüsü birbirine eşit olduğunda fonksiyonları eşitleriz ve bir tarafa ekleriz. Fakat kosinüste sinüsten farklı olan bir açının negatifi kosinüste aynı sonucu verir. Bu nedenle bir fonksiyonu diğerine eşitlerken aynı zamanda negatifine de eşitleyebiliriz.

Örnek olarak denkleminin aralığındaki çözüm kümesini bulalım.

1. Eşitlik

2. Eşitlik

İki farklı denklemden 4 farklı değer bulduk. Bunları bir çözüm kümesinde toplayalım.

tanf(x)=tang(x) veya cotf(x)=cotg(x) Denkleminin Çözüm Kümesi

Tanjant ve kotanjant eşitlikleri için yine denklemde iki fonksiyon karşılıklı yazılır ve fonksiyonlardan sadece birine k.π eklenerek eşitlik sağlanır.

Örnek olarak denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm kümesini rahat bir şekilde bulduk.

a.sinf(x)+b.cosf(x)=c Biçimindeki Denklemlerin Çözüm Kümesi

Bu denklemlere (a, b, c sayıları sıfırdan farklı olması şartıyla) sinf(x) ve cosf(x)’e göre lineer(doğrusal) denklemler denir. Bu tür denklemleri bir dik üçgene uyarlayarak açıklayalım.

a.sinf(x)+b.cosf(x)=c Biçimindeki Denklemlerin Çözüm Kümesi

Buraya kadar açıklamak gerekirse bize verilen denklemdeki sinüs ve kosinüsün kat sayılarının bir dik üçgenin dik kenarları olduğunu varsaydığımız bir olasılığı canlandırdık ve gerekli sadeleştirmeleri yaptığımızda son bulduğumuz denkleme kadar indirgedik. Bu aşamada ise bir sinüslü ifadenin [-1,1] aralığında olduğunu biliyoruz ve bunu ifadesiyle çarparsak c sayısının alabileceği değer aralığını buluruz.

Tarafların kareleri alınırsa

Sonuç kısmına geldiğimizde bulduğumuz bu eşitsizlik bu tür denklemleri çözebilmemiz için ön şart olacaktır. a.sinf(x)+b.cosf(x)=c biçimindeki denklemleri çözerken eğer yukarıdaki şart sağlanıyorsa her terimi a veya b ye bölerek veya dönüşümü yapılarak denklemi çözülebilir. Aşağıda bi örnek çözerek bunu pekiştirelim.

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Öncelikle koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

a=1 , b= , c=1

koşulu sağlandığı için çözebiliriz.

Burada a=1 olduğu için herhangi bir paranteze almadan direkt eşitliğinden \sqrt3 \;\text{ yerine }\tan60^\circ yazalım ve çözelim.

Buradan sonrasını artık cosx=a denklemi gibi çözebiliriz.

1. Eşitlik

2. Eşitlik

İki eşitliğin çözüm kümelerini birleştirelim.

a.sinf(x)+b.cosf(x)=0 Biçimindeki Denklemlerin Çözüm Kümesi

Bu tür denklemlere (a ve b sayıları sıfırdan farklı olmak şartıyla) birinci dereceden homojen denklemler denir.

Bu denklemlerin çözümünde yukarıda yaptığımız gibi denklemin tamamını sinüs veya kosinüse bölerek direkt tanjant veya kotanjantlı bir ifadenin sonucuna ulaşabiliriz. Buradan da çözüm kümesini elde edebiliriz. Basit bir örnekle devam edelim.

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm kümesini yazmak istersek

a.cos2x+b.cosx.sinx+c.sin2x=0 Biçimindeki Denklemlerin Çözüm Kümesi

Bu tür denklemlere (a, b, c sayıları sıfırdan farklı olmak şartıyla) ikinci dereceden homojen denklem denir. Bu denklemlerin çözümünde ilk olarak her tarafı cos2x ile bölerek sadeleştiririz.

Elde ettiğimiz bu denklem aslında ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. Burada tanjant yerine bir bilinmeyen tanımlayarak denklemi çözeriz ve sonuçları tanjanta eşitleyerek çözüm kümesine ulaşırız. Daha iyi anlamak için bir örnek çözelim.

denklemini çözelim.

Denklemin tamamını cos2x e bölersek

Bu noktada tanx yerine a bilinmeyenini yazarak denklemi çözelim. Bulacağımız değerleri tekrar tanjanta eşitleyerek çözüm kümesini bulalım.

İnstagramdan Bikifi'yi Takip Et
✍ Ders Notları
6 Hafta📂 12. Sınıf Matematik
Benzer İçerikler
Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları
Güncel
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları

İçeriğe Git
Toplam Fark Formülleri
Güncel
Matematik

Toplam Fark Formülleri

İçeriğe Git
Trigonometrik Fonksiyonlar
Güncel
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar

İçeriğe Git
Yarım Açı Formülleri
Güncel
Matematik

Yarım Açı Formülleri

İçeriğe Git
Dik Üçgende Trigonometri
Güncel
Matematik

Dik Üçgende Trigonometri

İçeriğe Git
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Güncel
Matematik

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

İçeriğe Git
Copyright © 2022 Bikifi
Star Logo
tiktok Logo
Pinterest Logo
Instagram Logo
Twitter Logo