Logaritma Fonksiyonu

📅 14 Eylül 2021|17 Şubat 2022
Güncel
Logaritma Fonksiyonu

Konu Özeti

Logaritma fonksiyonu bir sayının logaritma tabanındaki sayının kaçıncı üssü olduğunu veren fonksiyondur. Logaritma fonksiyonunun çok sayıda özelliği bulunduğu için logaritma üzerinde birçok değişiklik yapılabilir ve sonuca farklı yollardan ulaşabiliriz.

Bu konuda
  • Logaritma grafiklerini
  • e sayısının nasıl bulunduğunu ve logaritmada kullanımını
  • Logaritma fonksiyonunun özelliklerini
öğreneceksiniz.

Logaritma’nın Okunuşu

Logaritma fonksiyonu üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur. Örnek olarak bir y=logax logaritma fonksiyonunda a taban, y üstür ve a tabanında logaritma x diye okunur.

Logaritma ile Üstel Fonksiyon Arasındaki İlişki

Aşağıda bazı logaritmik ifadeler ve bunların üstel karşılıkları verilmiştir.

Bu İlişkinin Grafiksel Yorumu

Logaritma fonksiyonunun grafiği üstel fonksiyonun grafiğinin y=x doğrusuna göre simetriğidir.

Aşağıda artan ve azalan üstel fonksiyon grafikleri ve bunların karşılığı olan logaritma fonksiyon grafikleri verilmiştir.

  • Sol tarafta artan üstel fonksiyon grafiği ve aynı a>1 şartına sahip artan logaritma fonksiyonu grafiği,
  • Sağ tarafta ise azalan üstel fonksiyon grafiği ve aynı 0<a<1 şartına sahip azalan logaritma fonksiyonu grafiği,

beraber verilmiştir.

Logaritma ve Üstel Fonksiyonun Grafiği

Logaritma Fonksiyonunun En Geniş Tanım Kümesi

f(x)=logg(x)h(x)

Yukarıdaki logaritmik fonksiyonun tanımlı olabilmesi için;

  1. g(x)>0
  2. g(x)1
  3. h(x)>0

Şartlarını sağlıyor olmalıdır.

Bununla ilgili bir örnek çözmek istersek f(x)=log(x+3)(-x2+5x-6) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulmaya çalışalım. Yukarıdaki şartlara göre önce tanımlı oldukları aralıkları yazalım.

Yukarıdaki şartlardan ilkine göre x’in (-3)’den büyük olduğunu, ikincisinde x’in (-2)’ye eşit olmayacağını ve son şarta baktığımızda son bulduğumuz eşitsizliğe göre 2<x<3 aralığında olduğunu buluruz.

Bütün bu 3 şartın ortak noktası bize verilen logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesini verecektir. Buna göre f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi (2,3) aralığı olacaktır.

Logaritma Fonksiyonunun Grafiği

y=logax+k Fonksiyonunun Grafiği

y=logax+k fonksiyonunda k değişkenini artırmak veya azaltmak y üzerinde aynı etkiyi gösterecektir. Bu nedenle y=logax+k fonksiyon grafiğini çizmek istersek önce y=logax fonksiyonunun grafiğini çizeriz ve sonrasında k birim kadar y ekseninde yukarı veya aşağı kaydırırız.

Aşağıda örnek olarak y=log3x+2 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Önce y=log3x fonksiyonunun grafiği, ardından 2 birim yukarı ötelenmiş haliyle fonksiyonun grafiğine ulaşılmıştır.

y=logx+k Fonksiyonunun Grafiği

y=loga(x+k) Fonksiyonunun Grafiği

y=loga(x+k) fonksiyonunda k değişkeni direkt x değerinin alması gerektiği değeri etkilediği için grafiğe x ekseni yönünde etki eder. Bunun nedeni y=logax fonksiyonunda x’in yanına k değişkeni eklendiğinde x’in alması gereken değer bir k değişkeni kadar azalır. k pozitif bir sayıysa grafik x ekseninde negatif yöne, negatif bir sayıysa grafik x ekseninde pozitif yöne k birim kadar ötelenir.

Aşağıda örnek olarak y=log2(x-3) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. İlk olarak y=log2x fonksiyonun grafiği verilmiş, sonrasında logaritmanın içi (x-3) olduğu için x alması gereken değerden hep 3 fazla olacağı için y=log2x fonksiyonun grafiği 3 birim sağa kaymıştır.

y=log(x+k) Fonksiyonunun Grafiği

n>0, y=n.logax Fonksiyonunun Grafiği

y=n.logax fonksiyonunda y değeri her x değeri için n katına çıkacaktır. Bu fonksiyonun grafiği x değerlerinin aynı olup y değerlerinin değişmesi n sayısının değerine bağlı olarak y=logax grafiğine göre eğriliği değişmektedir.

Aşağıda bu duruma örnek olarak y=3log2x fonksiyonunun grafiği verilmiştir. y=log2x fonksiyonunda bulduğumuz her y değeri 3 ile çarpılırsa y=3log2x fonksiyonunun grafiğine ulaşırız.

y=n.logx Fonksiyonunun Grafiği

y=-logax Fonksiyonunun Grafiği

y=-logax fonksiyonundaki bütün y değerleri y=logax fonksiyonuna göre negatiftir. Bu nedenle y=-logax fonksiyonunun grafiği y=logax fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriği alınmış halidir. Yani teknik olarak bütün y değerleri işaret değiştirmiş olur.

Aşağıda örnek olarak y=log2x fonksiyonunun grafiği ve x eksenine göre simetriği alınmış hali olan y=-log2x fonksiyonunun grafiği yer almaktadır.

y=-logx Fonksiyonunun Grafiği

y=n.loga(x±b)±c Fonksiyonunun Grafiği

y=n.loga(x±b)±c fonksiyonunun grafiği şimdiye kadar öğrettiğimiz 3 yöntemin de sırayla uygulanarak bulunabilir. İlk olarak y=logax grafiği çizilir ve bu grafik x ekseni doğrultusunda b birim kadar sağa veya sola ötelenir. Sonrasında y değerleri n katına çıkarılarak eğriliği değişmiş yeni bir grafik elde ederiz. Son olarak ise y ekseni doğrultusunda c birim kadar yukarı veya aşağı ötelenerek y=n.loga(x±b)±c fonksiyonunun grafiği elde edilir.

Aşağıda örnek olarak y=3log2(x+4)-1 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. İlk olarak y=log2x fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve yukarıdaki adımlar tek tek uygulanarak y=3log2(x+4)-1 grafiği elde edilmiştir.

y=n.log(x+b)+c Fonksiyonunun Grafiği

e Sayısı

Pek çok matematik ve mühendislik hesaplarında ifadesi geçer. Bu ifadede n sayısına 1’den başlayarak değerler verildiğinde bir süre sonra sonucun neredeyse aynı sadece virgülün çok sağında ihmal edilecek yerlerin değiştiği görülür. Bu çok tekrar eden sayıya e sayısı(Euler sayısı) adı verilmiştir ve hesaplamalarda direkt bu e sayısı kullanılmaktadır.

e sayısı e≅2,71828182845904523536… şeklinde devam eden irrasyonel bir sayıdır. y=ex sayısının grafiği ise y=2x ile y=3x grafiğinin arasında yer almaktadır.

Doğal Logaritma Fonksiyonu

Tabanı e sayısı olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir. Logaritmanın tabanı e sayısı olduğu zaman bunu ln şeklinde de ifade edebiliriz.

Aşağıda y=ex fonksiyonunun grafiği ve ters fonksiyonu olduğu için y=x doğrusuna göre simetriği olan y=lnx fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Doğal Logaritma Fonksiyonu Grafiği

10 Tabanında Logaritma Fonksiyonu

Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna 10 tabanında logaritma fonksiyonu (adi logaritma veya bayağı logaritma) denir. Logaritmanın tabanı 10 olduğunda tabanı yazmayabiliriz. Yani tabanında bir sayı yazmayan bir logaritmik ifade gördüğümüzde bunun 10 tabanında olduğunu anlarız.

Aşağıda y=10x fonksiyonunun ve tersi y=logx fonksiyonunun grafikleri verilmiştir.

10 Tabanında Logaritma Fonksiyonu Grafiği

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri

loga1=0

Logaritma fonksiyonunda tabanı ne olursa olsun logaritma 1’in sonucu her zaman sıfırdır. Bunun nedeni herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti her zaman 1’e eşittir.

logaa=1

Logaritma fonksiyonundaki sayı ve tabanı eşit olan logaritmanın sonucu 1’dir. Fonksiyonun tersini almak için tabanı karşıya attığımızda logaritmadaki sayıyla eşit olması için tabanın üstüne sadece 1 gelebilir.

logaax=x

Logaritma fonksiyonunda bulunan sayı, tabanın bir üslü ifadesiyse sonuç bu sayının üstü olur. Tabanı karşıya attığımızda eşitliğin sağlanması için karşı tarafın da logaritmadaki sayının üstüyle aynı olması gerekir.

logaxn=n.logax

Logaritma fonksiyonundaki sayının üstü logaritmanın başına çarpım olarak atılabilir. Bu durumu açıklarken aşağıda da denklemleri takip edelim. İlk olarak tabanı karşıya atarak ters fonksiyona ulaşırız. Sonrasında her iki tarafın da üstünü n sayısıyla çarparız. Her iki tarafı da a tabanında logaritmada yazarak denklemin sol tarafında ulaşmak istediğimiz ifadeyi buluruz. Sağ taraftaki ifadeyi ise bir önceki özellikten faydalanarak logaritmadaki sayının üstüne eşit olduğunu buluruz. Böylelikle sonucumuz n ile çarpılmış halde çıktı.

alogax=x

Bir sayının üstünde logaritmik bir ifade varsa ve tabanı bu sayıya eşitse sonuç direkt logaritmadaki sayıya eşit olur. Bunun nedeni üslü ifadenin tabanını karşı tarafa logaritma tabanı olarak atarsak sonuç üste verilen logaritmada bulunan sayıya eşittir.

loga(x.y)=logax+logay

Çarpım durumunda bulunan sayıların logaritmaları, bu sayıların aynı logaritma tabanında ayrı ayrı yazılmış hallerinin toplamına eşittir. Açıklamak gerekirse çarpım durumundaki sayıların ayrı ayrı logaritmalarını alıp bunları m ve n harflerine eşitleyelim. Bu logaritmaların tersini aldığımızda çarpım durumundaki iki sayının da a cinsinden bir karşılığını buluruz. Bu sonuçları logaritmanın içine çarpım durumunda koyarak gerekli işlemleri yaptığımızda sonucu m+n, yani iki sayının da logaritmaları toplamını buluruz.

loga(x/y)=logax-logay

Bölüm durumunda bulunan sayıların logaritmaları çarpım durumdan farklı olarak bu sayıların logaritmalarının toplamı değil bölenin logaritmasının bölüneninkinden çıkarıldığı duruma eşittir. Bölenin logaritmasını aldığımız zaman paydada bulunduğu için eksilisini alarak aynı şeyi elde edebiliriz.

logax=(logcx/logca) ve logba=(1/logab) (Taban Değiştirme Özelliği)

Bir logaritma fonksiyonunda taban ve logaritması alınan sayıyı ayırıp ikisini de aynı tabanlı logaritmalarda bölerek tekrar yazabiliriz. İlk durumda taban olan sayının logaritması paydada olacaktır. Ayrıca bir logaritmada taban ve logaritması alınan sayının yerini değiştirmek istersek logaritmanın çarpmaya göre tersini almamız yeterli olacaktır. İlk durum için logaritmayı üslü ifade haline getirip her iki tarafı da istediğimiz bir tabanda logaritmaya alınca önceki özelliklerden de faydalanarak düzenlediğimizde sonuca ulaşırız.

Logaritmadaki sayıların yerlerini değiştirmek için hemen yukarıdaki özellikten faydalanabiliriz. Yeni belirlediğimiz tabanı üstekiyle aynı sayıyı seçersek yukarısı 1 olur ve aşağıdaki logaritmada sayılar tam tersi durumda olur.

loganbm=(m/n).logab

Logaritma fonksiyonunda logaritması alınan sayının üstü çarpım olarak, tabanın üstü ise logaritmanın başına bölüm olarak geçer. Bunu açıklarken bir önceki özellikten yararlanarak önce logaritmadaki sayıyı ve tabanı herhangi bir taban belirleyerek ayırıp, sonrasında üstlerini başa çarpım olarak attığımız zaman aynı tabanlı logaritmaları bu sefer birleştiririz.

alogbc=clogba

Bir sayının üstünde logaritmik ifade varsa bu sayıyla logaritması alınan sayının yerini değiştirebiliriz. Bu sonuca ulaşmak için öncelikle fonksiyonda üste bulunan logaritmadaki sayıyı taban kabul ederek her iki tarafı da logaritmaya alırız. Eskiden üst durumunda olan logaritmik ifade artık çarpım olarak diğer logaritmanın yanına gelir. Bu iki logaritmayı da aynı tabanda olacak şekilde ayırarak sadeleşebilecek duruma getirir ve düzenlersek a ve c sayılarının yerleşinin değişmiş haline ulaşırız.

logx(1)x(2).logx(2)x(3)…….logx(n-1)x(n)=logx(1)x(n)

Çarpım durumunda bulunan logaritmaların tabanları ve logaritması alınan sayı aynıysa direkt sadeleştirebilir, üslü ifadesiyse sadeleştirmenin sonucunda üstü çarpım olarak kalır. Bunun temeli taban değiştirme özelliğine dayanır. Bütün logaritmaları aynı tabanda yazdığımızda altlı üstlü aynı ifadelere denk geliriz ve bunları sadeleştirebiliriz.

İnstagramdan Bikifi'yi Takip Et
Benzer İçerikler
Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler
Güncel
Matematik

Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler

İçeriğe Git
Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Yorumlanması
Güncel
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Yorumlanması

İçeriğe Git
Üstel Fonksiyon
Güncel
Matematik

Üstel Fonksiyon

İçeriğe Git
Verilerin Grafikle Gösterilmesi
Güncel
Matematik

Verilerin Grafikle Gösterilmesi

İçeriğe Git
Fonksiyonun Tersi
Güncel
Matematik

Fonksiyonun Tersi

İçeriğe Git
Fonksiyonlarda Grafik Çizimi ve Yorumlama
Güncel
Matematik

Fonksiyonlarda Grafik Çizimi ve Yorumlama

İçeriğe Git
Copyright © 2022 Bikifi
Star Logo
tiktok Logo
Pinterest Logo
Instagram Logo
Twitter Logo