1. Bikifi
  2. Lise Ders Notları
  3. Geometri Ders Notları
  4. Üçgenlerde Temel Kavramlar

Üçgenlerde Temel Kavramlar

Aynı doğrultuda bulunmayan 3 noktanın birleştirilmesiyle oluşan geometrik şekle üçgen denir. Her üçgenin kenarları arasında üçgen eşitsizliğine uyan bir bağlantı bulunur. Bu bölümde üçgenleri açıları ve kenarları arasındaki ilişki yönünden inceleyeceğiz.

I) Üçgende Açılar

Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir ve toplam 3 açısı bulunmaktadır. Bu açılar arasında aşağıdaki açı özelliklerine göre isimlendirilir.

1)Üçgende Açı Özellikleri

  • Dar Açı: Büyüklüğü 0 ile 90 derece arasında olan açıdır.
  • Dik Açı: Büyüklüğü 90 derece olan açıdır.
  • Geniş Açı: Büyüklüğü 90 ile 180 derece arasında olan açıdır.
  • Doğru Açı: Büyüklüğü 180 derece olan açıdır.
  • Tam Açı: Büyüklüğü 360 derece olan açıdır.
  • Tümler Açılar: Toplamları 90 derece olan açılardır. Örneğin 50 derece olan bir açının tümleri(tümler açısı) 40 derecedir.
  • Bütünler Açılar: Toplamları 180 derece olan açılardır. Örneğin 110 derece olan bir açının bütünleri(bütünler açısı) 70 derecedir.
  • Açıortay: Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir.

2) Üçgenin Açıları

Üçgenlerde Temel Kavramlar

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 derecedir. Bunun kanıtı üst taraftaki görselde görebiliriz. Bir ABC üçgeninin B noktasından geçen ve CA kenarına paralel bir doğru çizdiğimiz zaman ‘Z kuralı‘ndan a açısı x açısına, c açısı da y açısına eşit olacaktır. b,x,y açıları bir doğru açıyı oluşturduklarından toplamları 180 derece olacaktır. Buradan üçgenin iç açıları olan a,b,c açılarının toplamı da 180 derece diyebiliriz.

  • €€ x + b + y = 180 €€
  • €€ a + b + c = 180 €€
Üçgenlerde Temel Kavramlar

Üçgende Dış Açı

Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.

Bunun kanıtı, üçgenin her köşesindeki iç ve dış açılarının toplamı 180 derecedir ve her üç köşeyi toplayıp iç açıları çıkardığımız zaman dış açıların ölçüleri toplamını 360 bulacağız. Aşağıda işleme dökülmüş hali bulabilirsiniz.

Üçgenlerde Temel Kavramlar
  • €€ a + x = 180˚ €€
  • €€ b + y = 180˚ €€
  • €€ c + z = 180˚ €€
  • €€ a + b + c + x + y + z = 540˚ €€
  • €€ a + b + c = 180˚ €€
  • €€ x + y + z = 360˚ €€

Pratik: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Bu bilgi üçgenler sorusu çözerken uygulamak size pratiklik kazandırır.

Bunun kanıtı ise belirlediğimiz bir açıyı hem diğer iki açıyla topladığımızda hem de bu açının dış açısıyla topladığımızda iki sonuçta da 180 dereceyi buluruz. Sonuç olarak diğer iki açının toplamı ve bunlara komşu olmayan dış açı birbirine eşittir. Anlattıklarımın aşağıda işleme dökülmüş halleri bulunmaktadır.

  • €€ a + b + c = 180° €€
  • €€ a + \alpha = 180° €€
  • €€ b + c = 180° – a €€
  • €€ \alpha = 180° – a €€
  • €€ \alpha = b + c €€

3) Üçgende Açıortay Özellikleri

Üçgenlerde Temel Kavramlar

Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Aşağıda vereceğim açıortay özellikleri aslında birkaç işlem sonucu kendinizin de bulabileceği sonucu direkt ezberleyip soruları hızlıca çözmeniz için verilmiştir. Bu işlemleri aklınıza oturması için anlatacağım.

Üçgenlerde Temel Kavramlar

Bir üçgende iki iç açıortay arasındaki açının ölçüsü, açıortayı çizilmeyen açı ölçüsünün yarısından 90 derece fazladır. ABC üçgenine baktığımızda A açısının ölçüsünü 180 dereceden çıkarttığımız zaman iki açıortayın toplamını (2x+2y) elde ederiz. Bulduğumuz bu sonucu ikiye böldüğümüzde ise açıortayların birer tanesinin toplamını (x+y) buluruz. Şimdi BCD üçgenine baktığımızda artık iki açının toplamını biliyoruz ve bunu 180 dereceden çıkardığımız zaman bize €€ \alpha €€ açısının değerini verecektir.

  • €€ m(\widehat A) + 2x + 2y = 180° €€
  • €€ 2x + 2y = 180° – m(\widehat A) €€
  • €€ x + y = {{180° – m(\widehat A)} \over 2} €€
  • €€ \alpha + x + y = 180° €€
  • €€ \alpha = 180° – ( x + y ) €€
  • €€ \alpha = 180° – {{180 – m(\widehat A)} \over 2} €€
  • Sonuç : €€ \alpha = 90° + {{m(\widehat A)} \over 2} €€
Üçgenlerde Temel Kavramlar

Bir üçgende iki dış açıortay arasındaki açının ölçüsü ile açıortayı çizilmeyen iç açı ölçüsünün yarısı, birbirinin tümleridir. Burada da temel mantığı anlamanız için işlemleri kısaca anlatacağım; fakat göstermeyeceğim. BCD üçgenine baktığımızda 180 dereceden €€ \alpha €€ açısını çıkardığımızda (x+y) değerini €€ \alpha €€ cinsinden buluruz. ABC üçgeninin dış açıları olan 2x ve 2y açılarını 180 dereceden çıkardığımız zaman iki iç açısını buluruz. Bu iç açıları da 180 dereceden çıkardığımız zaman m(A) açısına ulaşırız. Bulduğumuz değerde (x+y) gördüğümüz yere €€ (180 – \alpha) €€ yazdığımız zaman aşağıdaki sonuca ulaşırız.

€€ \alpha + {{m(\widehat A)} \over 2} = 90 €€ veya €€ \alpha = 90 – {{m(\widehat A)} \over 2} €€

Üçgenlerde Temel Kavramlar

Bir üçgende bir köşenin iç açıortayı ile diğer bir köşenin dış açıortayı arasındaki açının ölçüsü, açıortayı çizilmeyen köşenin iç açı ölçüsünün yarısıdır.

€€ \alpha = {{m(\widehat A)} \over 2} €€ veya €€ 2.\alpha = m(\widehat A) €€

Üçgenlerde Temel Kavramlar

Bir üçgende farklı köşelerdeki iki dış açıortay ile bir iç açıortay bir noktada kesişir.

4) İkizkenar Üçgen

Üçgenlerde Temel Kavramlar

İki kenarının uzunluğu, eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir.

  • ABC üçgeninde [BC] taban, [AB] ve [AC] yan kenarlardır.
  • €€ \widehat A €€ tepe açısı,€€ \widehat B €€ ve €€ \widehat C €€ taban açılarıdır.
  • |AB| = |AC|
  • €€ m(\widehat B) = m(\widehat C) €€
  • İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik, hem açıortay hem de kenarortaydır.
  • [AH] €€ \bot €€ [BC] ise
  • €€ m\widehat {(BAH)} = m\widehat {(CAH)} €€
  • |BH| = |CH|

5) Eşkenar Üçgen

Üçgenlerde Temel Kavramlar
  • Üç kenarının uzunluğu, eşit olan üçgenlere eşkenar üçgen denir.
  • |AB| = |AC| = |BC|
  • €€m(\widehat A) = m(\widehat B) = m(\widehat C) = 60° €€
  • Eşkenar üçgen ikizkenar üçgenin özelliklerini sağlar.

II) Üçgende Açı Kenar Bağıntıları

Üçgenlerde Temel Kavramlar

Bir üçgende kenar uzunlukları karşısında bulunan açının ölçüsüyle doğru orantılıdır. Bir açı ne kadar büyükse karşısındaki kenar o kadar büyük, ne kadar küçükse karşısındaki kenar o kadar küçük olur.

Örnek olarak bize €€ m(\widehat C) > m(\widehat A) > m(\widehat B) €€ bilgisi verilirse bundan yola çıkarak c > a > b yorumunu yapabiliriz.

Üçgenlerde Temel Kavramlar

Ayrıca bir açının büyüklüğüne göre kenarlar arasında bağıntı kurabiliriz.

  • €€ \alpha < 90° €€ ise €€ b^2 < a^2 + c^2 €€
  • €€ \alpha = 90° €€ ise €€ b^2 = a^2 + c^2 €€
  • €€ \alpha > 90° €€ ise €€ b^2 > a^2 + c^2 €€

III) Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgende iki kenar uzunluğunun toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür. Aşağıdaki üçgene göre bağıntıları

  • €€ a < b + c €€
  • €€ b < a + c €€
  • €€ c < a + b €€

şeklinde yazabiliriz.

Üçgenlerde Temel Kavramlar

Yine benzer bir mantıkla üçgenin bir kenar uzunluğu diğer iki kenar uzunluğu toplamından küçük; farklarının mutlak değerinden büyüktür. Aksi halde çok uzun olan bir kenar için diğer iki kenar birleşemez ve bir üçgen oluşturulamaz. Üçgenlerdeki bu bağıntıya üçgen eşitsizliği denir.

  • €€ b – c < a < b + c €€
  • €€ a – c < b < a + c €€
  • €€ a – b < c < a + b €€

Üçgenler Ünitesi Konu Anlatım Serisi

  1. Üçgenlerde Temel Kavramlar
  2. Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik
  3. Açıortay
  4. Kenarortay – Orta Dikme ve Yükseklik
  5. Üçgenin Alanı
  6. Dik Üçgenler ve Trigonometriye Giriş