Aynı doğrultuda bulunmayan 3 noktanın birleştirilmesiyle oluşan geometrik şekle üçgen denir. Her üçgenin kenarları arasında üçgen eşitsizliğine uyan bir bağlantı bulunur. Bu bölümde üçgenleri açıları ve kenarları arasındaki ilişki yönünden inceleyeceğiz.
Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir ve toplam 3 açısı bulunmaktadır. Bu açılar arasında aşağıdaki açı özelliklerine göre isimlendirilir.
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 derecedir. Bunun kanıtı üst taraftaki görselde görebiliriz. Bir ABC üçgeninin B noktasından geçen ve CA kenarına paralel bir doğru çizdiğimiz zaman ‘Z kuralı‘ndan a açısı x açısına, c açısı da y açısına eşit olacaktır. b,x,y açıları bir doğru açıyı oluşturduklarından toplamları 180 derece olacaktır. Buradan üçgenin iç açıları olan a,b,c açılarının toplamı da 180 derece diyebiliriz.
Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.
Bunun kanıtı, üçgenin her köşesindeki iç ve dış açılarının toplamı 180 derecedir ve her üç köşeyi toplayıp iç açıları çıkardığımız zaman dış açıların ölçüleri toplamını 360 bulacağız. Aşağıda işleme dökülmüş hali bulabilirsiniz.
Pratik: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Bu bilgi üçgenler sorusu çözerken uygulamak size pratiklik kazandırır.
Bunun kanıtı ise belirlediğimiz bir açıyı hem diğer iki açıyla topladığımızda hem de bu açının dış açısıyla topladığımızda iki sonuçta da 180 dereceyi buluruz. Sonuç olarak diğer iki açının toplamı ve bunlara komşu olmayan dış açı birbirine eşittir. Anlattıklarımın aşağıda işleme dökülmüş halleri bulunmaktadır.
Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Aşağıda vereceğim açıortay özellikleri aslında birkaç işlem sonucu kendinizin de bulabileceği sonucu direkt ezberleyip soruları hızlıca çözmeniz için verilmiştir. Bu işlemleri aklınıza oturması için anlatacağım.
Bir üçgende iki iç açıortay arasındaki açının ölçüsü, açıortayı çizilmeyen açı ölçüsünün yarısından 90 derece fazladır. ABC üçgenine baktığımızda A açısının ölçüsünü 180 dereceden çıkarttığımız zaman iki açıortayın toplamını (2x+2y) elde ederiz. Bulduğumuz bu sonucu ikiye böldüğümüzde ise açıortayların birer tanesinin toplamını (x+y) buluruz. Şimdi BCD üçgenine baktığımızda artık iki açının toplamını biliyoruz ve bunu 180 dereceden çıkardığımız zaman bize €€ \alpha €€ açısının değerini verecektir.
Bir üçgende iki dış açıortay arasındaki açının ölçüsü ile açıortayı çizilmeyen iç açı ölçüsünün yarısı, birbirinin tümleridir. Burada da temel mantığı anlamanız için işlemleri kısaca anlatacağım; fakat göstermeyeceğim. BCD üçgenine baktığımızda 180 dereceden €€ \alpha €€ açısını çıkardığımızda (x+y) değerini €€ \alpha €€ cinsinden buluruz. ABC üçgeninin dış açıları olan 2x ve 2y açılarını 180 dereceden çıkardığımız zaman iki iç açısını buluruz. Bu iç açıları da 180 dereceden çıkardığımız zaman m(A) açısına ulaşırız. Bulduğumuz değerde (x+y) gördüğümüz yere €€ (180 – \alpha) €€ yazdığımız zaman aşağıdaki sonuca ulaşırız.
€€ \alpha + {{m(\widehat A)} \over 2} = 90 €€ veya €€ \alpha = 90 – {{m(\widehat A)} \over 2} €€
Bir üçgende bir köşenin iç açıortayı ile diğer bir köşenin dış açıortayı arasındaki açının ölçüsü, açıortayı çizilmeyen köşenin iç açı ölçüsünün yarısıdır.
€€ \alpha = {{m(\widehat A)} \over 2} €€ veya €€ 2.\alpha = m(\widehat A) €€
Bir üçgende farklı köşelerdeki iki dış açıortay ile bir iç açıortay bir noktada kesişir.
İki kenarının uzunluğu, eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir.
Bir üçgende kenar uzunlukları karşısında bulunan açının ölçüsüyle doğru orantılıdır. Bir açı ne kadar büyükse karşısındaki kenar o kadar büyük, ne kadar küçükse karşısındaki kenar o kadar küçük olur.
Örnek olarak bize €€ m(\widehat C) > m(\widehat A) > m(\widehat B) €€ bilgisi verilirse bundan yola çıkarak c > a > b yorumunu yapabiliriz.
Ayrıca bir açının büyüklüğüne göre kenarlar arasında bağıntı kurabiliriz.
Bir üçgende iki kenar uzunluğunun toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür. Aşağıdaki üçgene göre bağıntıları
şeklinde yazabiliriz.
Yine benzer bir mantıkla üçgenin bir kenar uzunluğu diğer iki kenar uzunluğu toplamından küçük; farklarının mutlak değerinden büyüktür. Aksi halde çok uzun olan bir kenar için diğer iki kenar birleşemez ve bir üçgen oluşturulamaz. Üçgenlerdeki bu bağıntıya üçgen eşitsizliği denir.