Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik

📅 11 Ekim 2019|20 Şubat 2022
Güncel
Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik

Konu Özeti

Bu bölümde üçgenleri açıları ve kenarlarına göre karşılaştırarak, yeri geldiğinde teoremlerden de faydalanarak aralarında eşlik veya benzerlik kurmaya çalışacağız.

Bu konuda
  • Kenar ve açılara bağlı olarak iki üçgen arasında benzerlik kurmayı
  • Bazı benzerlik teoremlerini
öğreneceksiniz.

Üçgenlerin Eşliği

Bütün iç açıları ve kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgenlere eş üçgenler denir. Sorularda iki eş üçgen olduğu bilgisi verildiğinde bir üçgenin açılarına ve kenar uzunluklarına bakarak diğer üçgendeki aynı açının karşısına kenar uzunluğunu veya kenara bakarak karşısındaki açıyı yazabilirsiniz. Bu tür sorularda genelde üçgenler birbirine göre yansımış veya çevrilmiş olacaktır, bu yüzden görsel olarak benzetmekten çok açıları ve kenar uzunluklarını kıyaslamak kolaylık sağlayacak ve hız kazandıracaktır. Yine sorularda birazdan vereceğim benzerliklerle bir üçgenin bilgileri sayesinde başka üçgenin bilgilerini yazabileceğiz.

Ayrıca sorularda verilen eşitliklerinde harf sıralamasına bakılarak hangi harflerin birbirine karşılık geldiğini öğrenebiliriz. Örnek olarak bir eşitliğine baktığımızda A harfinin yerinde D, B harfinin yerinde E, C harfinin yerinde F harflerinin olduğunu hayal edebiliriz. Bu bilgilerden yola çıkarak;

|AB| = |DE| , |BC| = |EF| , |AC| = |DF| yorumlarını yapabiliriz.

Üçgenlerde Eşlik Kuralları

Aşağıdaki kurallarda söylenilen sırayla verilen açı ve kenar uzunluklarına göre tek bir üçgen oluşabileceği için iki üçgende aynı açı ve kenar uzunluklarını aynı sırayla gördüğümüzde bu üçgenlere eş üçgenler diyebiliriz.

Kenar-Açı-Kenar(K.A.K.) Eşlik Kuralı

Kenar Açı Kenar Eşlik Kuralı

İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı ikişer kenar uzunlukları ve bu kenarlar arasında kalan açı ölçüleri eşit ise bu üçgenler eş üçgenler olur.

Açı-Kenar-Açı(A.K.A) Eşlik Kuralı

Açı Kenar Açı Eşlik Kuralı

İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı ikişer açının ölçüleri ve bu açılar arasında kalan kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eş üçgenler olur.

Kenar-Kenar-Kenar(K.K.K.) Eşlik Kuralı

Kenar Kenar Kenar Eşlik Kuralı

İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı bütün kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Bu durumda üçgenlerin karşılıklı açıları da eştir.

Üçgenlerin Benzerliği

Bütün iç açıları eşit fakat kenar uzunlukları arasında belli bir oran olan üçgenlere benzer üçgenler denir. Benzerlik durumu “~” sembolü ile gösterilir. Benzer üçgenlerde birinin kenar uzunluğu diğer üçgende ona karşılık gelen kenarın iki katıysa diğer kenarlar için de aynı orantıyı yapabiliriz.

Örnek olarak benzerliğinde şu yorumları yapabiliyoruz;

  • burada benzerlik sabitidir, herhangi bir sayı olabilir. ise bu üçgenler eştir.

Üçgenlerde Benzerlik Teoremleri

Aşağıdaki teoremlerde söylenilen sırayla verilen açı ve kenar uzunluklarına göre tek bir üçgen oluşabileceği için iki üçgende aynı açı ve birbiriyle orantılı kenar uzunluklarını aynı sırayla gördüğümüzde bu üçgenlere benzer üçgenler diyebiliriz.

Kenar-Açı-Kenar(K.A.K.) Benzerlik Teoremi

Kenar Açı Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarlarının uzunlukları orantılı ve bu orantılı kenarlar arasındaki açıları eş ise bu iki üçgen benzerdir. Bu benzerliğe Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) benzerliği denir.

Kenar-Kenar-Kenar(K.K.K.) Benzerlik Teoremi

Kenar Kenar Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir. Bu benzerliğe Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) benzerliği denir.

Bu durumda :

Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Teoremi

Açı Açı Benzerlik Teoremi

İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı ikişer açısı eş ise üçgenler benzerdir. Bu benzerliğe Açı-Açı (A.A.) benzerliği denir. Bu üçgenlerde iki açısı eşit olduğunda üçüncü açı da eşit olacağından iki üçgende aynı açıların karşısındaki kenar uzunlukları arasında mutlaka bir orantı olacaktır.

Temel Orantı Teoremi

Temel Orantı Teoremi

Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarını kesen bir doğru, kestiği kenarları orantılı olarak böler.

d // [BC] ise olur.

Benzer üçgenlerde kenar uzunlukları arasında olduğu gibi aynı köşeden indirilen dik, açıortay ve kenarortaylar arasında da aynı orantı bulunur.

Thales Teoremi

Thales Teoremi 1

Thales Teoremi

İki farklı doğru, en az üç paralel doğru ile kesildiğinde orantılı parçalara ayrılır.

d1 // d2 // d3 ise olur.

Thales Teoremi 2

Thales Teoremi

Kesişen iki doğrunun, paralel iki doğru tarafından kesilmesiyle oluşan üçgenlerin kenarları orantılıdır. Yani burada ABC ve ADE üçgenleri arasındaki benzerliği kullanarak kenarları arasında orantı kurabiliriz.

I. Thales Teoreminde üst köşelerden sağdaki veya soldaki doğruya paralel indirdiğimiz zaman II. Thales Teoremine dönüştürebiliriz.

Kelebek Benzerliği

Kelebek Benzerliği

İki paralel doğru arasında çakışan başka iki doğru olduğunda iki benzer üçgen ortaya çıkar. Ters durmuş iki üçgen yan bakıldığında bir kelebeği andırdığı için bu isim verilmiştir. Yukarıdaki şekilde d1 doğrusu iki paralel doğruyu kestiği için ‘Z Kuralı‘ uygulayabiliriz. Bu durumda olacaktır. A noktasında yukarı ve aşağı bakan açılar ters açılardır ve birbirine eşittir. Bu veriler ışığında üçgenlerinin bütün iç açıları eşit olduğu için benzer üçgenlerdir. Bu benzerlikten yola çıkarak aşağıdaki yorumu yapabiliriz.

İnstagramdan Bikifi'yi Takip Et
Benzer İçerikler
Kosinüs Teoremi
Güncel
Matematik

Kosinüs Teoremi

İçeriğe Git
Sinüs Teoremi
Güncel
Matematik

Sinüs Teoremi

İçeriğe Git
Üçgenin Alanı
Güncel
Matematik

Üçgenin Alanı

İçeriğe Git
Üçgenlerde Temel Kavramlar
Güncel
Matematik

Üçgenlerde Temel Kavramlar

İçeriğe Git
Çokgenler
Güncel
Matematik

Çokgenler

İçeriğe Git
Dik Üçgende Trigonometri
Güncel
Matematik

Dik Üçgende Trigonometri

İçeriğe Git
Copyright © 2022 Bikifi
Star Logo
tiktok Logo
Pinterest Logo
Instagram Logo
Twitter Logo