Sinüs Teoremi

📅 27 Ekim 2020|16 Ağustos 2022
Güncel
Sinüs Teoremi

Konu Özeti

Bir üçgende her kenarın karşındaki açının sinüs değerine bölümü sabittir ve bu sabit üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir.

Bu konuda
  • Bir üçgende bilinen açı ve kenarlar kullanılarak bilinmeyenleri bulmayı
  • Sinüs teoremi kullanarak çevrel çemberi ile ilgili verilen bilgilerle üçgenin açı ve kenarlarını bulmayı
öğreneceksiniz.

Sinüs Teoremi Formülü

Aşağıda kenar uzunlukları ; iç açıları ve çevrel çemberinin yarıçapı r olan bir ABC üçgeni vardır. Bu üçgen üzerinden sinüs teoremini uygulayalım.

Bir Üçgen ve Çevrel Çemberi

Yukarıdaki formül incelendiğinde üçgenin bir kenar uzunluğu, karşısında bulunan açının sinüs değerine bölündüğünde bir katsayı elde edilir. Bulunan bu katsayı hem bütün kenarlara aynı işlemi uyguladığımızda çıkan sonuca hem de bu üçgenin çevrel çemberinin çapına eşit olacaktır.

Sinüs Teoremi İspatı

Formülü ezberlediğimize göre şimdi sırada nereden bulduğumuzu öğrenmek var. Sinüs Teoremini çevrel çember ve sinüslü alan formülünden bulabiliriz.

Çevrel Çember Yöntemi İle İspat

Aşağıda ABC üçgeni ve bu üçgenin merkezi O noktası ve yarıçapı r olan çevrel çemberi birlikte verilmiştir.

Çevrel Çember Yöntemi İle Sinüs Tteoremi
  • OB ve OC yarıçaplarını çizdiğimiz zaman oluşacak olan merkez açısı, çevrel çemberde aynı yayı gören çevre açısının iki katı olacağından bağıntısını kurabiliriz.
  • BOC üçgeni ikizkenar üçgen olduğu için O noktasından a kenarına indirilen yükseklik hem açısını hem de a kenarını iki eşit parçaya bölecektir. Bu bilgiler sonucunda açısı açısına eşit olacaktır.
  • BOH üçgenine baktığımızda açısının sinüsünü bulmak istersek sonucuna varırız.

Yukarıda bulduğumuz bağıntıyı düzenlersek;

Bütün kenarlara uygulanırsa yine bu bağıntıya ulaşılır.

Sinüslü Alan Formülü Yöntemi İle İspat

Öncelikle bir ABC üçgeni için sinüslü alan formülünü vermek gerekirse;

bağıntısını yazarız.

  • Formülde paydalarda bulunan bütün 2’leri sadeleştirip hepsini ‘ye bölelim.
  • Bu aşamadan sonra sadeleştirmeleri yapalım.
  • Pay ve paydaları yer değiştirirsek sinüs teoremi formülüne ulaşırız.

NOT: Bu yöntemde eşitliğin ‘ye eşit olduğunu bulamıyoruz.

Sinüs Teoremi Örnekleri

Örnek 1

Sinüs Teoremi Uygulama

Şekildeki ABC üçgeninde; olduğuna göre, değerinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm

  • Üçgenin iç açılarının toplamı 180° olduğu için bilinen iki açıyı toplayıp 180’den çıkartırsak üçüncü açıyı elde ederiz.
  • Sinüs Teoremi formülünden;

Örnek 2

Sinüs Teoremi Uygulama

Şekildeki ABC üçgeninde olduğuna göre oranını bulunuz.

Çözüm

  • diyelim.
    • O zaman olur.
  • Şekildeki ABD ve ADC üçgenlerine ayrı ayrı sinüs teoremi uygularız.
  • Burada değerini iki farklı denklemde buluruz.
  • Bulduğumuz bu değerleri birbirine eşitlersek aradığımız orantı çıkacaktır.
  • ABD üçgeni :
  • ADC üçgeni:
  • Burada değerlerini bulduk artık eşitleyebiliriz.
İnstagramdan Bikifi'yi Takip Et
Benzer İçerikler
Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları
Güncel
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları

İçeriğe Git
Trigonometrik Fonksiyonlar
Güncel
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar

İçeriğe Git
Trigonometrik Denklemler
Güncel
Matematik

Trigonometrik Denklemler

İçeriğe Git
Kosinüs Teoremi
Güncel
Matematik

Kosinüs Teoremi

İçeriğe Git
Köklü Sayılar
Güncel
Matematik

Köklü Sayılar

İçeriğe Git
Üçgenin Yardımcı Elemanları: Kenarortay, Orta Dikme ve Yükseklik
Güncel
Matematik

Üçgenin Yardımcı Elemanları: Kenarortay, Orta Dikme ve Yükseklik

İçeriğe Git
Copyright © 2022 Bikifi
Star Logo
tiktok Logo
Pinterest Logo
Instagram Logo
Twitter Logo