Eşit Fonksiyonlar
Tanımlı oldukları değerlerde aynı sonuçları veren fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir.
iki fonksiyon olmak üzere her x sayısı için f(x)=g(x) sonucunu veriyorsa bu fonksiyonlar eşit fonksiyonlardır.
Örnek
A={0,2} ve B={1,2,3,4,5} olmak üzere
fonksiyonları verilmiştir. Bu iki fonksiyonun eşit olup olmadığını bulalım.
Çözüm
Öncelikle tanım kümesine baktığımızda sadece 0 ve 2 sayılarını görüyoruz. Bu sayıları her iki fonksiyonda da yerine koyduğumuzda B değer kümesinden aynı sonuçları elde edersek bu iki fonksiyon eşit olacaktır.
Yukarıdaki işlemler sonucunda fonksiyonlar aynı sonuçları verdiği için f ve g fonksiyonları eşit fonksiyonlardır.
Örnek
fonksiyonları verilmiştir. f ve g fonksiyonları eşit olduğu bilindiğine göre m+n+r+s toplamının en küçük değerini bulalım.
Çözüm
Yukarıda fonksiyonlar bağıntılar halinde verilmiş. Her bağıntıda solda tanım kümesine ait değer, sağda ise değer kümesindeki karşılığı yazar. Eşit fonksiyonlarda tanım kümesinden yazılan her değer bize değer kümesinden aynı sayıyı verir. Bu nedenle verilen bağıntılarda tanım veya değer kümesine ait aynı değeri gördüğümüz yerde diğer sayının da eşit olması gerekir.
Bizden toplamın en küçük değerini istediği için n ve s ‘nin negatif değerlerini alırsak
Birim (Özdeşlik) Fonksiyon
A kümesi boş kümeden farklı bir küme olması şartıyla f: A→A bir fonksiyondur. ∀x∈A için f(x)=x oluyorsa bu fonksiyona birim fonksiyon denir ve I harfi ile gösterilir. Yani kısaca fonksiyonun tanım kümesinde (fonksiyonun parantez içinde) ne görürsek sonucu da aynı olacaktır.
- f(11)=11
- f(t)=t
- f(c+5)=c+5
Örnek
f: R→R, f fonksiyonu bir birim fonksiyon olmak üzere f(3b+7)+f(2b-3)=24 eşitliği veriliyor. Buna göre f(2b2-3) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm
f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre parantez içinde gördüğümüz ifadeler fonksiyonunun sonucu olacaktır. Buna göre eşitliği yazıp b değerini bulabiliriz.
- (3b+7)+(2b-3)=24
- 5b-4=24
- 5b=20
- b=4
b değerini bulduğumuza göre bize sorulan ifadede yerine koyarak f fonksiyonunun parantez içindeki değerini bulduğumuzda sonuca da ulaşmış oluruz.
- f(2b2-3)=f(2.42-3)
- f(2.42-3)=2.42-3
- 2.42-3=29
Örnek
f: R→R, f fonksiyonu bir birim fonksiyon olmak üzere f(5t-11)=(m-2)t2-nt+3t+2s-5 eşitliği veriliyor. Buna göre m+n+s değerini bulunuz.
Çözüm
f fonksiyonu birim fonksiyon olduğu için parantez içindeki ifadeyle sonuç birbirine eşit olmalıdır. Baktığımız zaman fonksiyonun içinde t2 li ifade olmadığına göre bunun katsayısını sıfıra eşitleyip yok ederiz. Diğer yandan t bilinmeyeninin katsayısıyla sabit ifadeleri de eşitleyerek m, n, s değerlerini tek tek bulabiliriz.
- 5t-11=(m-2)t2-nt+3t+2s-5
- m-2=0 → m=2
- -n+3=5 → n=-2
- 2s-5=-11 → s=-3
- m+n+s=2+(-2)+(-3)=-3
Sabit Fonksiyon
A ve B kümeleri boş kümeden farklı kümeler olması şartıyla f: A→B bir fonksiyondur. ∀x∈A, k∈B için f(x)=k oluyorsa bu fonksiyona sabit fonksiyon denir. Sabit bir fonksiyonun tek bir sonucu vardır. Fonksiyon tanım kümesinde hangi değeri alırsa alsın değer kümesinde hep aynı sonuca ulaşacaktır.
Örnek olarak f: R→R, f(x)=-5 olmak üzere
- f(10)=-5
- f(x+7)=-5
- f(a-9)=-5
Sabit fonksiyon olan bir f(x) fonksiyonu için f(x)= biçiminde bir ifade de eşitliğini yazabiliriz.
Bunun ispatı olarak verilen sabit fonksiyonun sonucuna k dersek kesirli ifade k değerine eşit olacaktır. Buradan kesirli ifadenin paydası çarpım olarak diğer tarafa atıldığı zaman karşımıza çıkan denklemde x’li ifadelerin katsayılarını ve sabit değerleri ayrı ayrı eşitleyerek k cinsinden eşitliklerini buluruz.
Bu durumda k değerini iki farklı şekilde bulduğumuza göre bunları birbirine eşitleyebiliriz. Buradan eşitliği görülür.
Örnek
f: R→R, f fonksiyonu bir sabit fonksiyon olmak üzere f(x)= eşitliği veriliyor. Buna göre m nin değerini bulunuz.
Çözüm
f fonksiyonu bir sabit fonksiyon olduğu için pay ve paydada bulunan x in katsayıları oranı sabit terimlerin oranlarına eşit olacaktır. Bu eşitliği çözdüğümüzde m değerine ulaşacağız.
- m-8=21
- m=29
Örnek
f: R→R, f fonksiyonu bir sabit fonksiyon ve g: R→R, g fonksiyonu bir birim fonksiyon olmak üzere
f(x)+g(x-6)=x+5 eşitliği veriliyor. Buna göre f(99)+g(9) değerini bulunuz.
Çözüm
g fonksiyonu bir birim fonksiyon olduğu için direkt tanım kümesine eşit olacaktır. g fonksiyonunu yazdıktan sonra f fonksiyonunu buluruz.
- f(x)+g(x-6)=x+5
- f(x)+x-6=x+5
- f(x)=11
f sabit fonksiyonunu 11 olarak bulduk yani tanım kümesi ne olursa olsun sonucu 11 olacaktır. g birim fonksiyonunda da tanım kümesine eşit olacağından bizden ifadeyi artık bulabiliriz.
- f(99)=11
- g(9)=9
- f(99)+g(9)=11+9=20
Doğrusal Fonksiyon
a,b∈R olmak üzere f: R→R, f(x)=ax+b şeklindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. Doğrusal fonksiyonlarda x in üssü sadece bir olur, başka bir kuvveti bulunmaz. Böylece a katsayısı değiştikçe f fonksiyonu doğrusal bir değişim gösterir. Doğrusal fonksiyonların grafikleri bir doğrudan oluşmaktadır.
Doğrusal fonksiyonlarda x yerine koyduğumuz değerlerde her bir birim artışında veya azalışında sonuçta görülen değişim hep aynıdır. Örnek olarak f(3)=15, f(4)=21 değerleri bilindiğinde fonksiyonun 3 ile 4 değerleri arasındaki fark 6 ise 4 ile 5, 5 ile 6 arasındaki farklar da 6 olacaktır. Buradan f(5)=21+6=27, f(6)=27+6=33 sonucuna ulaşabiliriz.
Örnek
f: R→R, f fonksiyonu bir doğrusal fonksiyon olmak üzere f(x)=(2m+n-6)x3+(m-3n+4)x2+mx+n eşitliği veriliyor. Buna göre f(7) değerini bulunuz.
Çözüm
Doğrusal bir fonksiyonda x3, x2 li ifadeler olmayacağı için katsayılarını sıfıra eşitleriz. Karşımıza iki farklı denklem çıkacaktır. Bu denklemleri birlikte çözerek yani bir denklemi belli oranda büyütüp diğer denklemle topladığımızda m veya n değerlerinden birini buluruz. Sonrasında bulduğumuz değeri bir denklemde yerine koyarak diğerini buluruz.
- 2m+n-6=0
- m-3n+4=0
- ilk denklemi 3 ile genişletip alttaki denklemle toplarsak
- (6m+3n-18)+(m-3n+4)=0
- 7m-14=0
- m=2, n=2
Bulduğumuz bu değerlere göre f fonksiyonumuzu f(x)=2x+2 olarak buluruz. Bizden istenen f(7) değeri için x yerine 7 yazarak bulabiliriz.
f(x)=2x+2 → f(7)=2.7+2=16
Tek ve Çift Fonksiyon
f: R→R olmak üzere ∀x∈R için
- f(-x)=f(x) olan fonksiyonlara çift fonksiyon denir.
- f(-x)=-f(x) olan fonksiyonlara tek fonksiyon denir.
Çift fonksiyonlarda bilinmeyenin üsleri sadece çift sayı olur. Böylelikle yerine negatifi yazılsa bile üssü çift sayı olduğu için tekrar aynı sonucu verir.
- f(x)=2x2-3 → f(-x)=2(-x)2-3=2x2-3=f(x)
- f(x)=3x4-5x2+9 → f(-x)=3(-x)4-5(-x)2+9=3x4-5x2+9=f(x)
Tek fonksiyonlarda ise bilinmeyenlerin üsleri sadece tek sayı olur ve sabit terim bulunmaz. Sabit terim olması durumunda bütün değerler işaret değiştirirken sabit terim aynı kalır.
- f(x)=5x3-x → f(-x)=5(-x)3-(-x)=-5x3+x=-f(x)
- f(x)=x5-9x → f(-x)=(-x)5-9(-x)=-x5+9x=-f(x)
Örnek
f: R→R, f fonksiyonu çift fonksiyon ve g: R→R, g fonksiyonu tek fonksiyon
4x-3f(-x)-2=7g(-x)+2x2-3 ve f(6)=3 olmak üzere g(6) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm
Öncelikle fonksiyonları düzenlemek gerekirse f fonksiyonu çift fonksiyon olduğu için f(-x) yerine f(x), g fonksiyonu tek olduğu için g(-x) yerine -g(x) yazabiliriz. f(6)=3 denkliğinden faydalanmak ve bizden istenen g(6) ifadesini bulmak için verilen denklemde x yerine 6 yazarak sonuca ulaşabiliriz.
- 4x-3f(-x)-2=7g(-x)+2x2-3
- 4x-3f(x)-2=7(-g(x))+2x2-3
- 4.6-3f(6)-2=-7g(6)+2.62-3
- 24-9-2=-7g(6)+72-3
- 7g(6)=56
- g(6)=8
Parçalı Fonksiyon
Bir fonksiyonun tanım kümesinin belirli bölgelerinde farklı fonksiyonların kullanıldığı fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Örnek olarak a,b,c,d∈R olmak üzere
biçimindeki m(x), n(x) ve r(x) fonksiyonlarından oluşan f(x) fonksiyonu parçalı fonksiyondur. Tanım kümesindeki bir değer hangi fonksiyonun değer aralığındaysa o fonksiyona koyularak sonuç bulunur. Verdiğimiz f(x) fonksiyonunda a,b,c,d noktaları fonksiyonun kritik noktalarıdır.
Örnek
Tanım kümesi (-9,11] olan bir f fonksiyonu aşağıda verilmiştir.
Bu durumda f(-8)+f(2)+f(10) toplamını bulunuz.
Çözüm
Bizden istenen f fonksiyon değerlerinin hangi tanım kümesi aralığında olduğunu bularak onun karşısındaki fonksiyonda işleme sokarız.
- x=-8 için -9<x≤-5 → 4x+7=4.(-8)+7=-25 → f(-8)=-25
- x=2 için -5<x≤2 → x3=23=8→ f(2)=8
- x=10 için 2<x≤11 → 2x-3=2.10-3=17 → f(10)=17
- f(-8)+f(2)+f(10)=(-25)+8+17=0
Fonksiyonlarda Cebirsel İşlemler
Fonksiyonlar arasında da dört işlem uygulanabilir. Bu işlemler sonucunda elde edilen yeni fonksiyonun tanım kümesi işleme giren fonksiyonların tanım kümelerinin kesişimine eşit olacaktır. Bu nedenle işleme giren fonksiyonların tanım kümelerinin kesişimi boş küme olmamalıdır. Ayrıca fonksiyonları kendi aralarında olduğu gibi reel sayılarla da işleme sokabiliriz. Bu durumda tanım kümesi değişmez.
Şimdi birkaç örnek çözerek öğrendiklerimizi pekiştirelim.
Örnek
Bu iki fonksiyonu kullanarak toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini uygulayalım.
Çözüm
Örnek
olmak üzere olduğuna göre değerini bulalım.
Çözüm
Bu sorunun çözümünde iki farklı yol izleyebiliriz.
1.Yol
(f+g)(x) fonksiyonundan f(x) fonksiyonunu çıkartarak önce g(x) fonksiyonunu bulur sonra x yerine -1 yazarak sonuca ulaşırız.
2.Yol
g(x) fonksiyonunu bulmakla uğraşmayıp direkt (f+g)(-1)’den f(-1)’i çıkartarak g(-1)’e ulaşırız.
Örnek
Verilen fonksiyonlara göre (2f+3g)(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
İlk olarak iki fonksiyon arasındaki işlemler için tanım kümelerinin kesişimleri alındığını söylemiştik. Burada f ve g fonksiyonu için ortak tanım kümesini {-1,2} şeklinde yazabiliriz. Şimdi bu tanım kümesindeki elemanları bize verilen yeni fonksiyonunu bulmak için kullanabiliriz.
Burada yeni fonksiyonumuzun tanım kümesindeki değerlere karşılık gelen değerleri buluruz ve f ve g fonksiyonlarındaki gibi bağıntı şeklinde yazabiliriz.
