Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler

Üstel Denklemler

Tabanı 1’den farklı pozitif reel sayı, üssü ise bilinmeyen bulunduran üslü ifadelerin bulunduğu denkleme üstel denklemler denir. Aşağıda örnek olarak birkaç üstel denklem verilmiştir.

Şimdi üstel denklemlerle ilgili basitten zora doğru sorular çözerek denklemleri ve çözüm yollarını daha iyi tanıyalım.

Üstel Denklem Örnekleri

Örnek 1:

343 7’nin 3. kuvvetidir. Buradan 343 yerine 7 üssü 3 yazarsak

olarak buluruz.

Örnek 2:

(0,5) ifadesi 1/2’ye eşit olduğu için bu sayının çarpmaya göre tersini alıp üssünü negatif yapmak aynı değere eşit olacaktır. Böylelikle denklemin bir tarafı 2 üssü (-x+9) olurken 64’ü de 2 üssü 6 olarak ifade edebiliriz. İki tarafın da tabanını 2 yaptığımıza göre üsleri eşitleyebiliriz.

Örnek 3:

öncelikle bilinmeyene sahip üslü ifadelere bir harf vererek önce ikinci dereceden denklemi çözerek sonunda bulduğumuz bilinmeyenin sonuncunu üslü ifadeye eşitleyerek çözüm kümesini bulabiliriz.

(5’in hiçbir kuvveti negatif bir sayıya eşit olamayacağı için -2 sonucu elenir)
sonucuna ulaşırız.

Örnek 4:

İlk olarak çarpanlarına ayıralım.

Burada sonucu 0 yapan x değerleri bize çözüm kümesini verecektir. e^x ifadesi hiçbir zaman 0 olamayacağı için buradan bir sonuç gelmez.

denklemine baktığımız zaman

sonuçlarını buluruz.

Örnek 5:

Her iki tarafın da logaritmasını alırsak üslerini çarpım olarak logaritmaların başına atabiliriz. Sonrasında bilinmeyen bulunduran ifadeleri bir araya toplayarak çözüm kümesini bulabiliriz.

Logaritmanın özelliklerinden logaritmalar toplam halindeyken içlerinin çarpımını, çıkartma halinde içlerinin bölündüğü hali tek logaritmada yazabiliyoruz.

Burada yine logaritmanın özelliklerinden aynı tabana ait logaritmaların birbirine bölümünden paydada bulunan sayı üsteki logaritmanın tabanına gelicek şekilde yazılabilir.

Örnek 6:

Her iki tarafın da e tabanında logaritmasını alalım. Böylelikle denklemin sol tarafında e sayısından kurtulup x’li bir ifadeyle kalacağız. Denklemin sağ tarafını da düzenleyip bilinmeyenleri bir tarafa toplayarak çözüm kümesine ulaşırız.

Böyle de bırakılabilir fakat düzenlemek istersek

Logaritmik Denklemler

Tabanı 1’den farklı pozitif reel sayı, içi ise pozitif olan fonksiyon bulunduran logaritmaların eşitliğine logaritmik denklemler denir.

I. Logaritmik denklem şeklinde logaritmaların tabanları eşit ise diyebiliriz.

Örnek olarak denkleminin çözüm kümesini bulmak istersek logaritmaların içlerini birbirine eşitleyebiliriz.

sonuçlarını buluruz.

fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için

şartlarını sağlıyor olmalı.

Bulduğumuz iki değer için de denklemimiz tanımlı olduğu için çözüm kümemiz aşağıdaki gibi olacaktır.

II. olmak üzere denkleminin çözüm kümesi için aşağıdaki adımlar uygulanmalıdır.

Logaritma fonksiyonu yalnız bırakılır
Logaritmanın tabanı karşıya atılarak üstel denkleme dönüştürülür
Denklem çözülür ve çözüm kümesindeki şartını sağlayan değerler alınır

Örnek olarak denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Bulduğumuz bu değer şartını sağladığı için çözüm kümemiz

olur.

Bunları birkaç örnekle pekiştirelim.

Logaritmik Denklem Örnekleri

Örnek 1:

Logaritmanın tabanında sayı yazmıyorsa bu logaritmanın tabanının 10 olduğunu biliriz. Denklemin sağ tarafını da 10 tabanında logaritmayla yani şeklinde yazarsak logaritmaların içlerini birbirine eşitleyerek bir denklem elde ederiz ve bu denklemi çözerek çözüm kümesine ulaşırız.

sonuçlarını buluruz.

Bulduğumuz değerleri logaritmada yerine koyduğumuzda iki değer için de logaritmanın içi pozitif çıkmaktadır.

olur.

Örnek 2:

Logaritmanın özelliklerinden yararlanarak birbirinden çıkartılan logaritmaların içlerini birbirine bölerek tek logaritmada yazabiliriz. Böylece tabanları aynı olan birbirine eşit iki logaritmik ifade elde ederiz. Bu logaritmaların içlerini birbirine eşitleyerek bir denklem elde ederiz ve bu denklemi çözerek çözüm kümesine ulaşırız.

Bulduğumuz bu değeri logaritmaların hepsinde yerine koyduğumuzda bütün logaritmaların için pozitif olacağı için şartları sağlamaktadır.

olur.

Örnek 3:

İlk olarak dışarıdaki logaritmanın tabanını karşıya atarak üslü ifade olarak yazarız. Artık sol tarafta bir sayı ve logaritmanın toplamı kalmıştır. Bu sefer sayıyı karşıya atarak logaritma yalnız bırakılır ve tekrar logaritmanın tabanı karşıya atılarak üslü ifade elde edilir. Böylece logaritmaların içindeki bilinmeyenli ifade yalnız kalmıştır. Bundan sonrasında denklemi çözerek çözüm kümesini bulabiliriz.

Bulduğumuz değer her iki logaritmanın da içini pozitif yaptığına göre çözüm kümemiz aşağıdaki gibi olur.

Üstel Eşitsizlikler

Tabanı 1’den farklı pozitif reel sayı, üssü ise bilinmeyen bulunduran üslü ifadelerin bulunduğu eşitsizliklere üstel eşitsizlikler denir. Bu eşitsizliklerin bir tarafı üslü ifade diğer tarafı sayı veya iki tarafı da üslü ifade olabilir.

Bu eşitsizliklerde aşağıdaki durumlara göre bazı çıkarımlar yapabiliriz.

Yukarıdaki çıkarımları açıklamak gerekirse bir sayı 1’den büyük olduğu zaman üssü ne kadar büyük olursa sayı o kadar büyür fakat bu sayı 0 ile 1 arasında olunca üssü ne kadar büyürse sayının o kadar küçüleceği gibi bağıntı vardır. Bu nedenle tabandaki sayının değeri üslerin eşitsizliğinde büyük öneme sahiptir. Bu durumu örneklerle pekiştirelim.

Üstel Eşitsizlik Örnekleri

Örnek 1: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Öncelikle eşitsizliğinin iki tarafının da tabanını aynı değere getirelim. Tabanlar eşit olduğunda tabanın değerine göre üsler arasında eşitsizliği kurabiliriz.

(3>1, Taban 1’den büyük)

olarak buluruz.

Örnek 2: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Eşitsizlikte ilk olarak tabanlara baktığımızda eşit olduğunu görüyoruz. Tabanın değerine baktığımızda 0 ile 1 arasında olduğu için küçük olanın tarafın üssü diğerininkinden daha büyük olacaktır.

olarak buluruz.

Logaritmik Eşitsizlikler

Tabanı 1’den farklı pozitif reel sayı, içi ise pozitif olan fonksiyon bulunduran logaritmaların eşitsizliğine logaritmik eşitsizlikler denir. Bu eşitsizliklerin bir tarafı logaritma diğer tarafı sayı veya iki tarafı da logaritma olabilir.

Aynı üstel eşitsizliklerde olduğu gibi logaritmik eşitsizliklerde de tabanların değeri eşitsizlik hakkında bizi yönlendirir.

için

Logaritmik eşitsizliklerle ilgili birkaç örnek çözelim.

Logaritmik Eşitsizlik Örnekleri

Örnek 1: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Logaritmanın tabanı 0 ile 1 arasında olduğu için logaritmaların içleri arasındaki eşitsizlik tam tersi olacaktır.

Buradan bir çözüm kümesi gelmektedir. Aynı zamanda logaritmaların içini pozitif yapan iki eşitsizlik daha vardır.

Bu 3 eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimleri bize ana eşitsizliğimizin çözüm kümesini verecektir.

olarak buluruz.

Örnek 2: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Logaritmanın sağındaki ve solundaki sayıları aynı tabanda logaritmada yazarak logaritmaların içlerindeki sayılar arasında bir eşitsizlik kurabiliriz. Logaritmanın tabanına baktığımızda 1’den büyük olduğu için logaritmalar arasındaki eşitsizlik içleri için de aynı yönde olacaktır.

bulunur.

Aynı zamanda logaritmanın içini pozitif yapan eşitsizliğin de çözüm kümesini bularak ortak bir çözüm kümesi buluruz.

Ortak çözüm kümesi: