Bu bölümde üçgenlerin açılarını ve kenar uzunluklarını bulmamıza yarayacak yardımcı elemanları öğreneceğiz. Bu yardımcı elemanlar açıortay, kenarortay, orta dikme ve yüksekliktir. Bu yazımızda kenarortayı, orta dikmeyi ve yükseklik kavramlarını inceleyeceğiz. Açıortay kavramını anlattığımız yazıya gitmek için buraya tıklayın.
Üçgenin bir köşesinden karşı kenarın ortasına çizilen ve bu kenarı iki eşit uzunluğa bölen doğru parçasına kenarortay denir.
ABC üçgeninde |BD| = |DC| olduğundan [AD] , BC kenarının kenarortayıdır. Bu kenarortayın uzunluğu €€ |AD| = V_a €€ şeklinde gösterilir.
Benzer şekilde AC kenarının kenarortayı €€V_b€€, AB kenarının kenarortayı €€V_c€€ ile gösterilir.
Kenarortaylar üçgenin içinde bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir.
Bir üçgende ağırlık merkezini bulmak için 3 kenarortayın olması gerekmeyebilir. Aşağıdaki durumlarda da ağırlık merkezini bulduğumuzdan emin olabiliriz.
Ayrıca bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşittir.
ABC dik üçgeninde [AD] , hipotenüse ait kenarortay ise
|BD|=|DC|=|AD| olup |BC|=2.|AD| olur.
Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.
ABC üçgeninde [DE] orta taban ise [DE] // [BC] ve |BC| = 2.|DE| olur.
Bir üçgende ağırlık merkezinin kenarortayı köşeden 2 birim, kenardan 1 birim oranında, orta taban ise bir kenarortayı iki eş parçaya ayırdığını öğrendik.
Yukarıdaki üçgende kenarortaylar ve bir orta taban birlikte çizilmiştir.
ABC üçgeninde a, b ve c kenarlarına ait kenarortaylar sırasıyla €€ V_a, V_b, V_c €€ olmak üzere üçgenin kenarları ile kenarortayları arasında
Bu bağlantılar taraf tarafa toplanıp düzenlenirse
€€ 4.(V_a^2 + V_b^2 + V_c^2) = 3.(a^2 + b^2 + c^2) €€ bağlantısı bulunur.
ABC dik üçgeninde
Bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve doğru parçasına dik olan doğruya orta dikme doğrusu denir.
Yukarıdaki şekilde CH doğrusu, AB doğru parçasının orta dikmesidir.
Bir ABC üçgeninde A, B ve C noktalarından geçen çember üçgenin çevrel çemberi olarak isimlendirilir.
Bir üçgenin kenar orta dikmeleri tek noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.
Aşağıdaki görsellerde görüldüğü gibi bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesiştiği noktanın üçgenin köşelerine olan uzaklıkları eşittir ve bu uzaklık üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır.
ABC üçgeninde çevrel çemberin merkezi O, yarıçapı R ise |AO| = |BO| = |CO| = R birimdir.
Üçgenin çeşidine göre çevrel çemberinin merkezi için 3 farklı durum vardır.
Üçgenin bir köşesinden karşısındaki kenara çizilen dikmeye üçgenin o kenarına ait yüksekliği denir. Bir ABC üçgeninin a, b, c kenarlarına ait €€ h_a,h_b,h_c €€ olmak üzere üç yüksekliği vardır. Bir üçgende yükseklikler tek noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.
Üçgenin çeşidine göre diklik merkezi için üç farklı durum vardır.
İkizkenar üçgenlerde eşit olmayan kenara indirilen dikme üçgeni iki eş üçgene ayırır.
Her birinde sağ ve sol tarafta simetrik bir yapı oluşur.
İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan eşit kenarlara çizilen paralellerin uzunlukları toplamı, eşit kenarlardan birinin uzunluğuna eşittir.
İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan eşit kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eşit kenarlara ait yüksekliğe eşittir.
Eşkenar üçgende üç kenara ait yükseklik ve kenarortay uzunlukları ile üç açıya ait açıortay uzunlukları eşittir.
Eşkenar üçgenin iç bölgesinde veya kenarlarının üzerinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin uzunlukları toplamı, eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğuna eşittir.
Eşkenar üçgenin iç bölgesinde veya kenarlarının üzerinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir.