Özel Dörtgenler – Paralelkenar

📅 08 Mart 2020|17 Şubat 2022
Güncel
Özel Dörtgenler – Paralelkenar

Konu Özeti

Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Paralelkenara at bütün özellikleri bu yazıda inceleyeceğiz.

Bu konuda
  • Paralelkenarda alan özelliklerini
  • Paralelkenarda açılara ve köşegenleri bağlı kenar uzunluklarını bulmayı
öğreneceksiniz.

Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralelkenar denir.

Paralelkenar

Öncelikle paralelkenar, yamuğun tüm özelliklerine sahiptir. Bu özellikleri incelemek için bir önceki konumuz olan yamuk konusunu inceleyebilirsiniz.

Paralelkenarın en temel 3 özelliğinden bahsedecek olursak;

  1. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
  2. Karşılıklı duran açılar birbirine eşittir.
  3. Ardışık duran açıların toplamı 180° eder.
Paralelkenar

Paralelkenarda Açı ve Kenar Bağıntıları

Özellik 1

Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar ve her ikisi de iki eşit parçaya bölünür.

Paralelkenarda Köşegenler

için;

Özellik 2

Paralelkenarda ardışık iki açının açıortayları birbirine dik uzanır.

Paralelkenarda Açıortaylar

İspat

Paralelkenarda ardışık iki açının toplamının 180° olduğunu söylemiştik. Her iki açının yarısını alırsak toplamda 90° eder. Açıortaylar birleştiğinde oluşan üçgende iki açının toplamı 90° ise kesiştikleri noktadaki açı da her zaman 90° olur. Bu özellik her kenar için kullanılabilir.

Özellik 3

Aşağıdaki ABCD paralelkenarında |DB| köşegen A, K, L, M ve B, C, M noktaları doğrusaldır.
Bu durumda olur.

Paralelkenar Özelliği

İspat

Yukarıdaki görselde 2 farklı renkte kelebek şekillerini görmekteyiz. Burada iki farklı kelebek benzerliği uygulayarak uzunluklar arasındaki ilişkileri kıyaslayarak ortak bir eşitlik çıkartabiliriz.

kelebek benzerliğinde aşağıdaki benzerliklere ulaşırız.

kelebek benzerliğinde ise aşağıdaki benzerliklere ulaşırız.

Bulduğumuz bu eşitliklerde ortak olarak ifadesini görüyoruz. Bu nedenle yukarıdaki bütün orantılar aslında birbirine eşittir. Bunlardan orantılarını alırsak;

içler dışlar çarpımı sonucunda ana formüle ulaşacağız.

Özellik 4

Paralelkenarda bir köşeden karşıdaki iki kenarın ortasına çekilen kenarortaylar yanındaki köşelerden çizilen köşegeni 3 eşit parçaya ayırır.

Paralelkenarda Kenarortaylar

İspat

Kenarortaylar ve köşegen çizildiğinde kelebek benzerliği ortaya çıkar.

Paralelkenarda Kenarortaylar İspat

Öncelikle DB köşegeninin uzunluğunu 6x alalım.

kelebek benzerliğini kullanalım.

Buradan |MB| uzunluğunun |MD|’nin 2 katı olduğuna ulaşıyoruz. Köşegenin toplam uzunluğuna 6x dediğimize göre;

Aynı kelebek benzerliğini üçgenleri arasında kurarsak;

Bu seferde |DN| uzunluğunun |NB|’nin 2 katı olduğuna ulaşıyoruz.

DB köşegeninin DM ve NB aralıkları 2x uzunluğuna eşit olduğuna göre bu uzunlukları 6x’ten çıkartırsak geriye kalan MN uzunluğu da 2x olur.

Özellik 5

Bir paralelkenarda 2 köşegenin kareleri toplamı, farklı 2 kenarının kareleri toplamının iki katıdır.

|AB|=a, |AD|=b, |AC|=e, |BD|=f olmak üzere

Paralelkenarda Köşegenler

İspat

ADB üçgeninde kenarortay teoremi uygularsak ve bulduğumuz denklemi düzenlersek

Aynısını ABC üçgeni için de yaparsak aynı sonuca varabiliriz.

Paralelkenarda Alan

Bir paralelkenarın alanı 2 farklı yöntemle bulunabilir.

1. Taban çarpı yükseklikten bulabiliriz. Taban olarak iki farklı kenarı da alabilir, yüksekliğimizi de ona göre belirleriz.

Paralelkenarda Alan

2. Sinüsle alan formülünü kullanabiliriz. Normalde bu formül üçgenlerde kullanılır fakat paralelkenarın BD köşegenini çizdiğimizde iki eşit üçgene bölüneceğinden asıl formüldeki ikiye bölme işlemini burada uygulamayız.

Paralelkenarda Sinüsle Alan

Özellik 1

Bir paralelkenarda köşegenler paralelkenarı 4 eşit alana ayırır.

Paralelkenarda Alan

İspat

Temele indiğimizde köşegenler paralelkenarı iki eşit parçaya ayırdığı için iki köşegen 4 eşit parçaya ayırır gibi bir yorum yapabiliriz.

Matematiksel kısma geldiğimizde ise ABCD paralelkenarını içinde bulunan ABC ve ACD üçgenlerine ayırdığımızda bu üçgenlerin hem yükseklik hem de taban uzunlukları eşit olduğundan alanları da eşit olacaktır.

Bu üçgenlerden birini ele aldığımızda örnek olarak ABC üçgeni içerisindeki ABE ve BCE üçgenlerini incelediğimizde yüksekliği B noktasından indirdiğimizde eşit uzunlukta, taban uzunluklarını incelediğimizde ise AE ve EC uzunlukları da eşit olduğundan bu iki üçgenin de alanını eşit buluruz. Aynı şeyi ACD üçgeni içerisinde de uygulayabiliriz.

Özellik 2

Bir paralelkenarın içinden herhangi bir nokta seçilip köşelerle birleştirildiğinde oluşan üçgenlerden karşılıklı duranların alanları toplamı birbirine eşit ve paralelkenarın alanının yarısına eşittir.

Paralelkenarda Alan

İspat

İlk olarak karşılıklı duran AKB ve CKD üçgenlerini ele alalım. Bu üçgenlerin alanlarını bulup topladığımızda paralelkenarın alanının yarısını elde ederiz. Paralelkenarın alanının yarısı bu üçgenlere aitse diğer karşılıklı duran üçgenler de yarısına eşit olacaktır. Aşağıda için yaptığımız işleri için de aynı şekil yapabiliriz.

Paralelkenarda Alan İspat

Özellik 3

Bir paralekenarda kenar üzerinden alınan nokta köşelerle birleştirildiğinde oluşan üçgenlerden ortadaki büyük üçgen kenarında duran iki üçgenin alanına ve paralelkenarı alanının yarısına eşittir.

Bu özellik bir önceki özellikle bağdaştırılabilir. Paralelkenarın herhangi bir yerinden alınan nokta kenar üzerinde olduğundan büyük üçgenin karşısındaki üçgen yok olmuş fakat onun alanı bu büyük üçgene geçmiş gibi düşünebilirsiniz.

Paralelkenarda Alan

İspat

AKB üçgeninin yüksekliği ve tabanı paralelkenarınkilere eşittir. Üçgende bu değerleri çarptıktan sonra ikiye böldüğümüz için K noktası DC kenarının neresinde olursa olsun AKB üçgeninin alanı paralelkenarın alanının yarısı olacaktır. Aynı şekilde K noktası yandaki kenarlardan birinde de olabilir. Örnek olarak K noktasını AD kenarı üzerinde bir yerde düşünürsek bu sefer yüksekliği BC kenarına indireceğiz ve o zaman da üçgenin alanını paralelkenarın alanının yarısı olarak bulacağız.

Paralelkenarda Alan İspat

İnstagramdan Bikifi'yi Takip Et
Benzer İçerikler
Özel Dörtgenler – Yamuk
Güncel
Matematik

Özel Dörtgenler – Yamuk

İçeriğe Git
Dörtgenler ve Özellikleri
Güncel
Matematik

Dörtgenler ve Özellikleri

İçeriğe Git
Üçgenin Alanı
Güncel
Matematik

Üçgenin Alanı

İçeriğe Git
Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik
Güncel
Matematik

Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik

İçeriğe Git
Üçgenin Yardımcı Elemanları: Açıortay
Güncel
Matematik

Üçgenin Yardımcı Elemanları: Açıortay

İçeriğe Git
Çokgenler
Güncel
Matematik

Çokgenler

İçeriğe Git
Copyright © 2022 Bikifi
Star Logo
tiktok Logo
Pinterest Logo
Instagram Logo
Twitter Logo