Dörtgenler ve Özellikleri

📅 06 Mart 2020|20 Eylül 2022
Güncel
Dörtgenler ve Özellikleri

Konu Özeti

Bu bölümde dörtgenlerin genel özelliklerini öğrenip, bir sonraki konuda artık özel dörtgenlerle daha derine ineceğiz.

Bu konuda
  • Dörtgenlerin açıları ve kenarları arasında bağıntı kurmamızı sağlayacak özelliklerini
  • Dörtgenin alanını bulmamızı sağlayacak özelliklerini
öğreneceksiniz.

Dörtgenlerde Açı ve Uzunluk Bağıntıları

Özellik 1: Dörtgenlerde İç Açı

n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamını bir önceki konu olan çokgenler konusunda (n-2)x180° bulmuştuk. O zaman bir dörtgenin iç açılarının yerine 4 yazarak 360° olduğunu bulabiliriz.

(4-2)x180° = 360°

Dörtgenlerde İç Açı

Reklam

Özellik 2: Dörtgenlerde Dış Açı

Her çokgende olduğu gibi bir dörtgenin dış açı ölçüleri toplamı 360° dir. Çokgenler konusunda bunu da yeterince açıklamıştık.

Dörtgenlerde Dış Açı

Özellik 3: Dörtgenlerde Komşu Açıortay Kuralı

Bir dörtgende komşu iki açının açıortayları arasında kalan açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır.

Dörtgenlerde Komşu Açıortay Kuralı

İspat

Açıortaylardan birinin yarısına a°, diğerinin yarısına b° değerini verirsek;

AKB üçgeninin iç açıları toplamından, (1)

Reklam

ABCD dörtgeninin iç açıları toplamından, (2)

denklemlerini elde ederiz.

1. denklemi ikiyle çarptığımızda (3) buluruz.

2. ve 3. denklemleri karşılaştırdığımızda ise 2. nın aslında C ve D köşelerindeki açıların toplamına eşit olduğunu görürüz.

Özellik 4: Dörtgenlerde Karşılıklı İki Açıortay

Bu seferde Bir dörtgende karşılıklı iki açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısıdır.

Dörtgenlerde Karşılıklı İki Açıortay

İspat

Açıortaylardan birinin yarısına a°, diğerinin yarısına c° değerini verirsek;

Reklam

AKCD dörtgeninin iç açıları toplamından, (1)

ABCD dörtgenin iç açıları toplamından, (2)

denklemlerini elde ederiz.

1. denklemi ikiyle çarpıp gerekli sadeleştirmeleri yaptığımızda (3) denklemini buluruz.

2. ve 3. denklemleri karşılaştırdığımızda ise ‘ye eşit buluruz.

Özellik 5: Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgenler

Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde, karşılıklı kenarların uzunluklarının kareleri toplamı eşittir.

Köşegenleri Dik Kesişen Dörtgenler

Reklam

Bu özelliğin temeli üçgenlerde pisagor teoremine dayanır.

Buradan şu sonucuna varabiliriz;

Özellik 6: Dörtgenlerde Kenar Orta Noktalar

Bir dörtgenin kenarlarının orta noktalarını birleştirirsek ortasında bir paralelkenar dörtgen ve aşağıdaki eşitlikler oluşur.

Dörtgenlerde Kenar Orta Noktalar

Bu özelliğin temeli üçgenlerde benzerliğe dayanır. Eğer anlamadıysanız üçgenlerde eşlik ve benzerlik konusuna göz atabilirsiniz.

Dörtgende Alan Bağıntısı

Özellik 1

Bir dörtgenin alanı, dörtgenin köşegen uzunları ile köşegenler arasında kalan açının sinüs değeriyle çarpımının yarısına eşittir.

Reklam

Dörtgende Alan Bağıntısı

İspat

Üçgenlerde alan bulma yöntemlerinden biri sinüs teoremidir. Dörtgenin köşegenlerini çizdiğimizde aslında 4 tane üçgen elde etmiş oluruz. Bu 4 üçgenin alanını topladığımızda ise ABCD dörtgeninin alanını buluruz.

olduğu için aşağıda yazmamız gereken yerlere de direkt yazacağız.

Özellik 2

Bir dörtgende kenarların orta noktaları birleştirildiğinde köşelerde oluşan üçgenlerden karşılıklı duran üçgenlerin alanları toplamı birbirine eşittir. Ayrıca bunlar ortada oluşan dörtgenin alanının yarısı, tüm dörtgenin alanının ise 4’te 1’i kadardır. Ayrıca akılda kalıcı olsun diye köşelerdeki bütün üçgenlerin alanlarının toplamı ortadaki KLMN dörtgeninin alanına eşit diyebiliriz.

Dörtgende Alan Bağıntısı

Reklam

Özellik 3

Bir dörtgenin köşegenleri çizildiği zaman oluşan 4 tane üçgenden karşılıklı üçgenlerin alanları çarpımı birbirine eşittir.

Dörtgende Alan Bağıntısı

Alan sorularında genellikle böyle bir şekil çıktığında karşımıza köşegenlerden bazı parçaların uzunlukları ve belli üçgenlerin alanları verilir. Bu durumlarda yan yana duran üçgenlerin yükseklikleri aynı olacağından tabanları arasındaki oranlardan alanları arasında geçiş yapıp bu özellikle de geri kalan üçgenlerin alanlarını bulup tüm dörtgenin alanına ulaşabilirsiniz.

Benzer İçerikler
Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları
Güncel
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları

İçeriğe Git>
Trigonometrik Denklemler
Güncel
Matematik

Trigonometrik Denklemler

İçeriğe Git>
Trigonometrik Fonksiyonlar
Güncel
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar

İçeriğe Git>
Toplam Fark Formülleri
Güncel
Matematik

Toplam Fark Formülleri

İçeriğe Git>
Özel Dörtgenler – Paralelkenar
Güncel
Matematik

Özel Dörtgenler – Paralelkenar

İçeriğe Git>
Özel Dörtgenler – Yamuk
Güncel
Matematik

Özel Dörtgenler – Yamuk

İçeriğe Git>
Copyright © 2023 Bikifi
Star Logo
tiktok Logo
Pinterest Logo
Instagram Logo
Twitter Logo