Özel Dörtgenler – Yamuk

📅 07 Mart 2020|17 Şubat 2022
Özel Dörtgenler – Yamuk

Konu Özeti

Kenarlarından 2 tanesi paralel olan dörtgene yamuk denir. Paralel olan kenarlara alt ve üst taban, diğer kenarlara ise yan kenar denir.

Bu konuda
  • Yamuğun genel özelliklerini
  • İkizkenar ve dik yamuğun kendine has özelliklerini
  • Yamuğun alanını farklı yollardan bulmayı
öğreneceksiniz.
Instagram Logo
Bikifi Instagram'da
Yamuk

Yalnız iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. Üstteki şekilde AB ve DC kenarları paraleldir. Yan kenarların birbirine göre veya tabanlara göre duruşu yamuğun türünü belirler. Yamukların temel özelliklerinden sonra yamuk türlerine ve özelliklerine değineceğiz.

Yamuğun Özellikleri

Özellik 1

Yamuğun bir yan kenarının alt ve üst tabanla arasında kalan açıların toplamı 180° ‘dir.

Yamuk İç Açılar

Bu özelliğin temeli Z kuralına bağlıdır. Alt ve üst taban paralel olduğu için örneğin DC kenarının sol tarafından uzatırsanız bir Z şekli çıkacak ve t açısının yanındaki açı x’e eşit olacaktır. Böylelikle x ve t bir doğru açıyı oluşturdukları için toplamları 180° olacaktır.

Özellik 2

Bir yamukta yan kenarların orta noktaları birleştirildiğinde elde ettiğimiz doğru parçası yamuğun orta tabanıdır. Orta taban, alt ve üst tabana paralel ve ikisinin toplamının yarısı uzunluğundadır(kısaca ikisinin ortalaması).

Bir yamukta alt ve üst taban arasındaki dik uzaklık yüksekliktir.

Yamukta Yükseklik

Yukarıdaki şekilde EF doğru parçası ABCD yamuğunun orta tabanı, h uzunluğu ise yüksekliktir.

Bu formül üçgende benzerlikten gelmektedir. Yamuğun bir köşegenini çizdiğimiz zaman üçgenlere ayrılır. örneğin AEK ve ADC üçgenleri arasında kenar uzunluklarında 1’e 2 oranında bir benzerlik olduğu için EK kenarı DC kenarının yarısı olacaktır. Aynı mantığı sağ taraftaki üçgenler için de uygularsak aşağıdaki sonuçlara ulaşırız.

Yamukta Orta Taban

Özellik 3

Bir yamukta yan kenarın tabanlarla arasında oluşan iç açıların açıortayları orta taban üzerinde dik kesişir.

Aşağıdaki şekli incelediğimizde A ve D köşelerinde bulunan açıların toplamının 180° olduğunu öğrenmiştik. ADK üçgenine baktığımızda bu iki açının da yarısı olduğuna göre bu açıların toplamı 90° olacaktır ve geriye kalan son açı da 90° olacağından bu bir dik üçgen olacaktır.

Yamukta Açıortay

Bir dik üçgende dik köşeden hipotenüse indirilen kenarortay hipotenüs uzunluğunun yarısı olur. Bu özellik muhteşem üçlü adıyla da anılır ve yukarıdaki ADK üçgeninde bir muhteşem üçlü gözlenmektedir. EK doğru parçası dik köşeden uzanıp AD kenarını ortadan ikiye ayırdığı için aşağıdaki eşitlikler oluşur.

Muhteşem üçlü ismi eşitliklerden de anlaşıldığı üzere bu 3 uzunluğun birbirine olan eşitliklerinden gelir. Bu özellik çok önemlidir ve dik üçgen içeren çoğu soruda hatırlanmalıdır.

İkizkenar Yamuk

Yan kenarlarının tabanlarla yaptığı açıları eşit olan ve bu nedenle yan kenarları birbirine eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

İkizkenar Yamuk

Özellik 1

İkizkenar yamuk simetrik bir yapıya sahip olduğu için köşegenleri birbirine eşittir.

İkizkenar Yamukta Köşegen

Bir ikizkenar yamukta üst tabanın kenarlarından alt tabana dikmeler indirdiğimizde, üst tabanın altında kalan kısım üst tabana geri kalan kısım ise alt tabandan üst tabanı çıkardığımızda kalan sonucun yarısı sağ tarafa diğer yarısı sol tarafta kalan parçaya eşit olacaktır.

İkizkenar Yamuk

Özellik 2

Köşegenleri dik kesişen bir ikizkenar yamuğun yüksekliği alt ve üst tabanın toplamının yarısına eşittir.

İkizkenar Yamukta Dik Kesişen Köşegenler

İspat

Dik üçgenlerdeki muhteşem üçlü özelliği yine karşımıza çıkıyor. Köşegenlerin kesiştiği nokta(K) yamuğu x ekseninde tam ortaladığı için kesiştikleri noktadan tabanlara dikmeler indirdiğimizde tabanları iki eşit parçaya bölecek ve indirdiğimiz dikmeler tabanların yarısına eşit olacaktır.

İkizkenar Yamukta Dik Kesişen Köşegenler İspat

Dik Yamuk

Yan kenarlarından sadece bir tanesi tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

Dik Yamuk

Özellik 1

Köşegenleri dik kesişen dik yamukta yükseklik alt ve üst tabanın çarpımlarının kareköküne eşittir.

Köşegenleri Dik Kesişen Dik Yamuk

İspat

Dik yamuğun alt tabanı olan AB kenarı uzatıp, D köşesinden AC köşegenine paralel bir doğru çizerek alt tabanla birleştirelim. ADB üçgeninin D köşesi 90° olacaktır ve buradan indirilen bir dikme yine bir üçgen kuralı olan öklid bağıntılarını aklımıza getirecektir.

Köşegenleri Dik Kesişen Dik Yamuk İspat

Öklid bağıntılarına göre dik köşeden hipotenüse dikme indirdiğimiz zaman hipotenüsün ayrılan parçalarının çarpımı indirilen dikmenin karesine eşit olur.

Yamuğun Alanı

Özellik 1

Taban uzunluklarının toplamının yükseklikle çarpımının yarısı bize yamuğun alanını verir.

Yamukta Alan

İspat

Yamuğun bir köşegenini çizdiğimizde karşımıza iki tane üçgen çıkacaktır. Bu üçgenlerin ikisinin de alanını bulup toplarsak yamuğun alanına ulaşırız.

Yamukta Alan İspat

Özellik 2

Bir yamukta köşegenleri çizdiğimiz zaman içeride 4 tane üçgen oluşur ve bu üçgenlerin alanları arasında bağıntılar vardır. Bu bağıntılar her yamuk için geçerlidir.

Yamukta Alan

İspat 1

DAB ve CAB üçgenlerini ele aldığımızda alanlarını hesaplarken taban uzunlukları ve yükseklikleri eşit olduğundan alanları da eşit olacaktır. DAB üçgeninin alanı S + S, CAB üçgeninin alanı S + S olduğuna göre S ikisinde de ortak olduğu için onu çıkartırsak S ve S birbirine eşit olacaktır.

İspat 2

Yüksekliği eşit olan üçgenlerde taban uzunlukları arasındaki oran alanları arasındaki oranı verir. DAK ve DCK üçgenlerini incelediğimizde AC köşegenini taban kabul ettiğimizde iki üçgenin de yükseklikleri D köşesinden AC köşegenine ineceğinden eşit olacak. O zaman taban uzunları olan AK ve KC uzunlukları arasındaki oran bize üçgenlerin alanları arasındaki oranı verecektir.

Aynı orantıyı BAK ve BCK üçgenleri arasında kurarsak

eşitliğini elde edeceğiz. Artık alanlar arasında direkt orantı kurabiliriz.

Özellik 3

Yamuğun bir yan kenarının tabanlarla kesiştiği noktadan diğer yan kenarın orta noktasına doğular çizdiğimizde oluşan büyük üçgenin alanı yamuğun alanının yarısı olur.

Yamukta Alan

İspat

Yamuğun orta tabanını çizdiğimizde bahsettiğimiz boyalı üçgenin alanı ikiye ayrılır. İki üçgenin de alanını bulup topladığımızda bize yamuğun alanının yarısını verecektir.

Yamukta Alan İspat
Bu yazıda bulunan terimler ayrıca anlatılmamıştır. Bu yazıdaki bir terimin ayrıca anlatılmasını istiyorsanız aşağıdaki yorum kısmından bize ulaşabilirsiniz.
Benzer İçerikler
Özel Dörtgenler – Paralelkenar
Matematik

Özel Dörtgenler – Paralelkenar

İçeriğe Git>
Dörtgenler ve Özellikleri
Matematik

Dörtgenler ve Özellikleri

İçeriğe Git>
Kısmi Toplam ve Toplam Sembolü
Matematik

Kısmi Toplam ve Toplam Sembolü

İçeriğe Git>
Dik Piramitler
Matematik

Dik Piramitler

İçeriğe Git>
Dik Prizmalar
Matematik

Dik Prizmalar

İçeriğe Git>
Üçgenin Yardımcı Elemanları: Kenarortay, Orta Dikme ve Yükseklik
Matematik

Üçgenin Yardımcı Elemanları: Kenarortay, Orta Dikme ve Yükseklik

İçeriğe Git>
Copyright © 2024 Bikifi
Star Logo
tiktok Logo
Pinterest Logo
Instagram Logo
Twitter Logo