Analitik düzlemde bir K(x1,y1) noktasının ax+by+c=0 denklemine sahip bir d doğrusuna olan uzaklığı, bu K noktasından d doğrusuna dik indirilen [KL] doğru parçasının uzunluğudur.
K noktası ve d doğrusu arasındaki uzaklığı hesaplayan formül aşağıdaki gibidir.
Formülde doğrunun denklemine uzaklığını bulmak istediğiniz noktanın koordinatlarını yazıyoruz ve mutlak değere alıyoruz. Doğrunun denklemindeki x ve y’nin kat sayılarının karelerini kök içinde toplayarak mutlak değerli ifadeyi bu ifadeye bölerek direkt noktanın doğruya olan uzaklığına ulaşırız. Bu formülün bulunması karışık ve uzun işlemlere dayanmaktadır. Bu formülü unutsanız bile bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulmanın tek yolu bu formül değildir.
Bir yöntem K noktasından geçen ve d doğrusuna dik doğrunun denklemini bulmaktır. Birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı -1 sonucunu verir. d doğrusunun eğiminden e doğrusunun eğimini buluruz ve K noktasını da kullanarak doğrunun denklemini elde ederiz. Bulduğumuz bu e doğrusunun denklemi ile d doğrunun denklemini ortak çözersek bize kesiştikleri L noktasının koordinatlarını verecektir. Böylece koordinatlarını bildiğimiz iki noktanın arasındaki uzaklığı x ve y’lerin farkının karelerini kök içinde toplayarak kolaylıkla bulabiliriz.
Başka bir yöntem ise verilen nokta ve doğruyu analitik düzlemde çizerek çözmektir. K noktasından yatay ve dikey olarak d doğrusuna uzanan doğru parçaları çizelim ve birleştikleri noktalar M ve N olsun. Bunun sonucunda bir MKN dik üçgeni oluşur. Şimdi önemli bir nokta ise M ve N noktalarının koordinatlarını bulmaktır.
M noktasıyla K noktası yatayda aynı hizada oldukları için ikisinin de y değeri aynı olur. M noktası d doğrusu üstünde olduğu için y değerini d doğrusunun denklemine yazdığımızda bize x değerini verecektir. Aynı şekilde N noktasıyla K noktasının x değeri aynı olduğu için bu x değerini d doğrusunun denklemine yazdığımızda bize y değerini verecektir. Artık M ve N noktalarının koordinatlarını bildiğimize göre MKN dik üçgeninin kenarlarını bulabiliriz. Kenarlarını bildiğimiz MKN dik üçgeninde alan hesabına göre aşağıdaki eşitlik ortaya çıkar.
Şimdi bir soruyu 3 farklı yoldan da çözerek örneklerini görelim.
Örnek: Analitik düzlemde bir A(-4,-9) noktasının d:3x+4y-12=0 doğrusuna olan l uzaklığının kaç birim olduğunu bulalım.
I. Yol
Formülde verilenleri yazalım.
A noktasının d doğrusuna uzaklığını 12 birim bulduk.
II. Yol
A noktasından geçen ve d doğrusuna dik bir e doğrusunun denklemini bulalım. Bu e doğrusunun eğimi ile d doğrusunun eğiminin çarpımı -1 olacaktır. d doğrusunun kapalı denklemini açık denklem haline getirelim. Denklemde y yalnız kaldıktan sonra x’in kat sayısı bize eğimi verecektir.
d doğrusunun eğiminden e doğrusunun eğimini bulalım.
Eğimini ve bir noktasını bildiğimiz e doğrusunun denklemini yazalım.
Şimdi d ve e doğrularının denklemlerini ortak çözümlersek bize kesiştikleri K noktasını verecektir.
Üstteki denklemi 4 ile, alttaki denklemi ise 3 ile çarparak genişletirsek x’ler birbirini götürecektir.
Alt alta topladığımızda
Bulduğumuz y değerini bir denklemde yerine yazarak K kesişim noktasının x değerini de bulalım.
Artık A ve K noktaları arasındaki uzaklığı bulabiliriz.
3,4,5 üçgenin kenarlarını 12 ile çarptığımızda 36,48,60 kenarlarına sahip olur. O zaman yukarıdaki kökün içi olarak çıkar. Yani aradaki uzaklığı yine 12 birim bulduk.
III. Yol
Analitik düzlemde A noktasını ve d doğrusunu çizerek çözeceğiz. İlk olarak noktayı ve doğruyu çizdikten sonra A noktasından yatay ve dikey doğrultuda çizgiler çizerek d doğrusuyla birleştirelim ve bu noktalara B ve C noktası diyelim.
B noktasıyla A noktası yatayda aynı hizada oldukları için y değerleri aynı olacaktır. B noktasının y değeri -9 olduğuna göre d doğrunun üzerinde olduğu için d doğrusunun denkleminde yerine yazarsak B noktasının x değerini buluruz.
Aynı şekilde C noktasıyla A noktası aynı dikeyde olduğu için x değerleri aynı yani -4 olur ve bu değeri denkleme yazarak C noktasının y değerini buluruz.
Üçgenin alanı iki farklı yoldan bulunur:
Dik üçgende alan = (iki dik kenarın çarpımı) / 2
Alan = (hipotenüs × hipotenüse inilen dik yükseklik) / 2
Bu nedenle aşağıdaki eşitlik ortaya çıkar.
A noktasının d doğrusuna olan uzaklığını bu yolla da 12 birim bulmuş olduk.
Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık
Analitik düzlemde birbirine paralel d1:ax+by+c1=0 doğrusu ile d2:ax+by+c2=0 doğrusu arasındaki uzaklık h olsun. Bu h uzaklığı aşağıdaki formülle kolaylıkla bulunabilir.
Formülde doğruların sabit terimleri farkını x ve y’nin kat sayılarının karelerinin kök içinde toplamına bölüyoruz.
Bu formülün ispatı bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını hesapladığımız formüle dayanır. d1 doğrusu üzerinde belirlediğimiz bir (x1,y1) noktasının d2 doğrusuna olan uzaklığı yine h uzaklığı olacaktır. Bu noktayı d1 doğrusunun denkleminde yazalım.
Şimdi bu ifadeyi noktanın doğruya uzaklığını veren formülde yazalım. Buradan noktalardan bağımsız iki doğru arasındaki uzaklık formülü çıkar.
Paralel iki doğru arasındaki uzaklığı bulmak için formülden başka yöntemler vardır. Bir doğrunun üzerinde belirlediğimiz bir noktanın diğer doğruya uzaklığını bulduğumuzda aslında iki doğru arasındaki uzaklığı buluyoruz. Bu nedenle yukarıda bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulurken kullandığımız yöntemlerin aynısını burada uygulayabiliriz.
Örnek: Analitik düzlemde d1:3y-4x-15=0 ve d2:3y-4x+9=0 doğruları arasındaki h uzaklığının kaç birim olduğunu bulalım.
I. Yol
Verilen denklemlere göre formülü yazalım.
d1 ve d2 doğruları arasındaki uzaklığı 4,8 birim olarak bulduk.
II. Yol
İki doğrudan birinin üzerinde bir nokta seçip diğer doğruya olan uzaklığını çizerek bulacağız. Seçeceğimiz nokta d1 doğrusu üzerinde biraz da işlem kolaylığı sağlasın diye A(0,5) noktası olsun. Bu A noktasından yatay ve dikey doğrulta çizgiler çizerek d2 doğrusuyla birleştirelim ve bu noktalar B ve C noktaları olsun.
B noktası A noktası ile aynı dikeyde olduğu için x değerleri aynı olacaktır. Bu x değerini d2 doğrusunun denkleminde yazarsak B noktasının y değerini de buluruz.
Aynı şekilde C noktası A noktası ile aynı yatayda olduğu için y değerleri aynı olacaktır. Bu y değerini d2 doğrusunun denkleminde yazarsak C noktasının y değerini de buluruz.
ABC üçgenine baktığımızda bütün köşe noktalarının koordinatlarını bildiğimize göre bütün kenar uzunluklarını bulabiliriz. Alan hesabından iki dik kenarın çarpımını, hipotenüse inen dik ile hipotenüsün çarpımına eşitleyebiliriz.
Bu yöntemle de d1 ve d2 doğruları arasındaki uzaklığı 4,8 birim bulmuş olduk.
Bu yöntemin dışında yine bir doğru üzerinde seçtiğimiz noktadan geçen ve bu doğrulara dik olan doğrunun denklemini bularak doğru denklemlerinin ortak çözümüyle aradaki uzaklığı bulabildiğimiz bir yöntem var. Bu yöntemi size bırakıyoruz fakat çözemediğiniz durumda bize ulaşabilir veya yukarıda noktanın doğruya olan uzaklığını bulduğumuz sorudan yardım alabilirsiniz.
