Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

📅 11 Aralık 2021|15 Şubat 2022
Güncel
Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

Konu Özeti

Analitik düzlemde bir doğru parçası üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlarını, doğru parçasının iki ucuna olan uzaklıkları oranlayarak bulabiliriz.

Bu konuda
  • Bir doğru parçası üzerindeki noktanın koordinatlarını bulmayı
  • Analitik düzlemde köşelerinin koordinatlarından üçgenin ağırlık merkezini bulmayı
öğreneceksiniz.

Bir Doğru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları

Analitik düzlemde bir doğru parçasının orta noktasını bulmak için iki ucunun koordinatlarına ihtiyacımız vardır. Orta noktanın x ve y değerleri doğru parçasının iki ucunun tam ortasında yer alacağı için bu iki ucun x ve y değerlerinin de tam ortasında yer alması gerekir.

Bir Doğru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları

Yukarıda bulunan analitik düzlemdeki doğru parçası üzerinden devam edelim. Bir ucu A(x1,y1) ve diğer ucu B(x2,y2) olan AB doğru parçasının orta noktası C(x0,y0) olsun. Burada x0 noktası x1 ve x2 noktasının tam ortasıdır. Bu nedenle x0‘ın x1 ve x2‘ye olan uzaklıkları eşit olacaktır. Aynı işlemler y değerleri için de yapılır.

Normalde iki sayıyı toplayıp ikiye böldüğümüzde bu iki sayının ortasını bulabiliriz fakat burada basit bir matematikle orta noktayı bulmayı gördük. Sonuç olarak iki ucunun koordinatlarını verilen doğru parçasının orta noktasının koordinatları aşağıda gösterildiği gibidir.

Örnek: Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A(-2,5), B(3,-4), C(a,b) ve D(7,2) olan ABCD paralel kenarında C noktasının koordinatlarını bulalım.

Bu sorunun çözümünde paralelkenarın köşegenlerini kullanacağız. Paralelkenarın köşegenleri birbirini iki eşit parçaya böler. Koordinatlarını bildiğimiz B ve D köşelerinin orta noktasını bulursak aynı zamanda A ve C noktasının da orta noktasını bulmuş oluruz. Orta noktasını ve bir ucunu kullanarak doğru parçasının diğer ucunu bulabiliriz.

Bir Doğru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları

İlk olarak B ve D noktasının orta noktası olan E(x,y) noktasının koordinatlarını bulalım.

Şimdi ise A ve C noktalarından E noktasını buluyormuşuz gibi aynı işlemleri yapalım fakat orta noktayı bildiğimiz için buraya bilinmeyen C noktasının koordinatlarına ulaşacağız.

Buna göre C noktasının koordinatları:

Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda İçten Bölen Noktanın Koordinatları

Analitik düzlemde bir doğru parçası üzerindeki noktanın doğru parçasının uçlarına olan x ve y uzaklıklarıyla oluşan dik üçgenler arasındaki benzerlikleri kullanarak koordinatlarını bulabiliriz.

Bir Doğru Parçası Üzerindeki Noktanın Koordinatları

Yukarıda bulunan görseldeki gibi bir ucu A(x1,y1) ve diğer ucu B(x2,y2) olan AB doğru parçası üzerinde bir P(x,y) noktası seçmiş olalım. Bu noktalardan eksenlere dik çizgiler çekip uzantılarını birleştirdiğimizde açıları eşit dik üçgenler oluşacaktır. Açıları eşit olduğu için bu dik üçgenler benzer olacaktır ve bu benzer üçgenler arasında aşağıdaki gibi orantı kurabiliriz.

Bu durumda iki üçgen arasındaki benzerlik oranı k oldu. Şimdi k oranını kullanarak P noktasının x ve y koordinatlarını bulalım.

İlk olarak x değerlerini kullandığımız kenarlardan başlayalım.

Aynı işlemleri y değerini bulmak için yapacağız.

Böylelikle doğru parçasında üzerinde belirlediğimiz P noktasının koordinatlarını A ve B noktasının koordinatları cinsinden bulduk.

Not: Eğer k benzerlik oranı 1 olursa üçgenler eşit olacaktır ve P(x,y) noktası AB doğru parçasının orta noktası olur.

Örnek: Analitik düzlemde A(-6,2) ve B(4,-3) noktaları için AB doğru parçasını oranında içten bölen C(x,y) noktasının koordinatlarını bulalım.

Bize verilen benzerlik oranını yukarıda P noktası için bulduğumuz eşitlikte yerine koyarak direkt sonuca ulaşabiliriz. Bu eşitliği aklınızda tutamasanız bile yukarıda izlediğimiz yolları takip ederek aynı sonuca ulaşabilirsiniz.

Bu durumda C noktasının koordinatları

şeklinde olur.

Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Dıştan Bölen Noktanın Koordinatları

Analitik düzlemde bir doğru parçasının üzerinde değil de uzantısında yer alan noktanın doğru parçasının uçlarına olan x ve y uzaklıklarıyla oluşan iç içe geçmiş dik üçgenler arasındaki benzerlikleri kullanarak koordinatlarını bulabiliriz.

Bir Doğru Parçası Üzerindeki Noktanın Koordinatları

Yukarıda bulunan görseldeki gibi bir ucu A(x1,y1) ve diğer ucu B(x2,y2) olan AB doğru parçasının uzantısında(dışında) yer alan bir C(x,y) noktası seçmiş olalım. Burada da noktalardan eksenlere dik çizgiler çekip uzantılarını birleştirdiğimizde iç içe iki benzer dik üçgen elde ederiz. Bu iki üçgen arasındaki benzerliği kullanarak dışarıdaki C noktasının koordinatlarını bulabiliriz.

İlk olarak x değerlerini veren uzunluklar arasında benzerlik kurarak başlayalım.

Aynı şekilde y değerini bulalım.

Böylelikle belirlediğimiz AB doğru parçası dışında yer alan C noktasının koordinatlarını A ve B noktasının koordinatları cinsinden bulmuş olduk.

Not: Sorularda doğru parçasının dışında kalan nokta için yukarıda bulduğumuz bu eşitliği kullanabilirsiniz. Başka bir yol düşünecek olursak doğru parçasının dıştaki noktaya yakın olan ucunu doğru parçasını içten bölen noktaymış gibi düşünebiliriz. Yani AB doğru parçası ve dışında bulunan C noktası yerine AC doğru parçasının içinde bulunan B noktası gibi düşünüp işlemleri buna göre yapabiliriz. Böylelikle tek bir eşitlikle hem içten hem de dıştan bölen durumu çözebiliriz.

Bir Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları

Analitik düzlemde bir üçgenin köşelerinin koordinatlarının ortalaması üçgenin ağırlık merkezini verir. Koordinatlarının ortalamasını alırken her köşenin x ve y değerlerini ayrı ayrı toplayıp ikisini de 3’e böldüğümüzde üçgenin ağırlık merkezinin x ve y değerlerini bulmuş oluruz.

Bunun ispatını yapacak olursak bir ABC üçgenini ele alalım. A köşesinden BC kenarına bir kenarortay çiziliyor ve bu kenarortay ağırlık merkezinden geçer. Aynı zamanda ağırlık merkezi bu kenarortayı 2’ye 1 oranında böler.

Bir Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları

İlk olarak K noktası B ve C noktalarının tam orta noktası olduğu için B ve C koordinatlarının toplamının yarısı K noktasını verecektir.

Şimdi AK doğru parçasına baktığımızda G ağırlık merkezi bu doğru parçasını içten bölen nokta olarak görünmektedir. G noktasının kenarlara olan uzaklıklarının oranını da bildiğimize göre içten bölen durumda kullandığımız eşitliği burada kullanabiliriz.

Böylece G ağırlık merkezinin koordinatlarını üçgenin köşeleri cinsinden

olarak buluruz.

İnstagramdan Bikifi'yi Takip Et
✍ Ders Notları
4 Hafta📂 11. Sınıf Matematik
Benzer İçerikler
Analitik Düzlemde Doğrunun Denklemi
Güncel
Matematik

Analitik Düzlemde Doğrunun Denklemi

İçeriğe Git
Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Güncel
Matematik

Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık

İçeriğe Git
Analitik Düzlemde Doğrunun Eğimi
Güncel
Matematik

Analitik Düzlemde Doğrunun Eğimi

İçeriğe Git
Kısmi Toplam ve Toplam Sembolü
Güncel
Matematik

Kısmi Toplam ve Toplam Sembolü

İçeriğe Git
Fonksiyonlarda Grafik Çizimi ve Yorumlama
Güncel
Matematik

Fonksiyonlarda Grafik Çizimi ve Yorumlama

İçeriğe Git
Üçgenin Yardımcı Elemanları: Kenarortay, Orta Dikme ve Yükseklik
Güncel
Matematik

Üçgenin Yardımcı Elemanları: Kenarortay, Orta Dikme ve Yükseklik

İçeriğe Git
Copyright © 2022 Bikifi
Star Logo
tiktok Logo
Pinterest Logo
Instagram Logo
Twitter Logo