Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık

📅 11 Aralık 2021|03 Mart 2022
Güncel
Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Konu Özeti

Analitik düzlemde noktaların koordinatlarını eksenlere dik çizerek buluruz. İki nokta arasındaki mesafeyi ise eksenlere indirdiğimiz dikler sayesinde ortada oluşan dik üçgende Pisagor teoremi uygulayarak buluruz.

Bu konuda
  • Analitik düzlemi ve koordinat sisteminin tanımını
  • Analitik düzlemdeki bölgeleri
  • Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığı bulmayı
öğreneceksiniz.

Analitik Düzlem

Aynı düzlem üzerinde başlangıç noktalarından dik kesişen sayı doğrularından oluşan sisteme koordinat sistemi denir. Üzerinde bir koordinat sistemi bulunduran düzleme ise analitik düzlem denir.

Koordinat Sistemi

Koordinat sistemdeki yatay sayı doğrusuna x ekseni veya apsis ekseni, dikey sayı doğrusuna ise y ekseni veya ordinat ekseni denir. x ve y ekseninin kesiştiği noktaya başlangıç noktası veya orijin denir ve O(0,0) şeklinde gösterilir.

Analitik düzlemde noktaların koordinatları sayı ikilileri şeklinde verilir. Bu sayılar belirlenen noktadan her iki eksene de dik çizildiğinde eksen üzerinde denk geldiği sayılardır. Bir noktadan x eksenine çizilen dikme sonucu kestiği sayı bu noktanın apsisidir ve noktanın koordinatlarında sola yazılır. Aynı noktadan y eksenine çizilen dikmede ise kestiği sayı noktanın ordinatı olur ve bu noktanın koordinatlarında sağ tarafa yazılır.

Analitik Düzlemde Noktanın Koordinatları

Yukarıda analitik düzlemde verilen P noktasından eksenlere çizilen dikmelerin kestiği noktalar görüldüğü gibi yanına ikili şekilde yazılarak koordinatları belirtilmiştir.

Koordinatları verilen bir noktayı analitik düzlemde göstermek istersek verilen sayı ikililerini eksenlerine koyup bu noktalardan eksenlere dik doğrular çizeriz ve bu doğruların kesiştiği nokta bizim koordinatları verilen noktamızdır.

Analitik Düzlemde Noktanın Koordinatları

Yukarıda örnek olarak A(2,3) noktası verilmiştir. A noktasının apsisi 2 olduğu için x ekseninde 2 noktasından ekseni dik kesen bir doğru çizilir. Aynı şekilde A noktasının ordinatı 3 olduğu için y ekseninde 3 noktasından eksene dik doğru çizilir. Son olarak bu doğruların kesiştiği yere baktığımızda burası A noktası olacaktır.

Analitik Düzlemde Bölgeler

Koordinat sistemi, analitik düzlemi 4 bölgeye ayırır. Bu bölgeler iki eksenin de pozitif olduğu sağ üst taraftan başlayarak saat yönünün tersine doğru devam eder.

Analitik Düzlemde Bölgeler
  • 1. Bölgede bulunan bir noktanın her iki eksen değeri de pozitiftir. (+,+)
  • 2. Bölgede bulunan bir noktanın x eksenindeki değeri negatif, y eksenindeki değeri ise pozitiftir.(-,+)
  • 3. Bölgede bulunan bir noktanın her iki eksen değeri de negatiftir.(-,-)
  • 4. Bölgede bulunan bir noktanın x eksenindeki değeri pozitif, y eksenindeki değeri ise negatiftir.(+,-)

Not: Eksenler üzerinde bulunan noktalar hiçbir bölgeye dahil değildir.

Örnek: A(-1,m-4) ve B(2-n,3) noktaları analitik düzlemin aynı bölgesinde bulunduğuna göre m+n toplamının değer aralığını bulalım.

Öncelikle bu noktalar aynı bölgede bulunduğuna göre x ve y değerlerinin işaretleri aynı olacaktır. A noktasına baktığımızda x eksenindeki değer negatif, böylece B noktası aynı bölgede olduğu için onun da x eksenindeki değer negatif olacaktır. B noktasının ise y eksenindeki değer pozitiftir, yine aynı bölgede bulunduklarından A noktasının da y eksenindeki değer pozitif olacaktır. A ve B noktalarının işaretlerine baktığımızda bu noktalar 2. bölgede bulunmaktadır.

A noktasının y eksenindeki değer pozitif olduğu için m-4 değeri sıfırdan büyük olacaktır. Böylelikle m’nin değerini 4’ten büyük buluruz.

B noktasının x eksenindeki değer negatif olduğu için 2-n değeri sıfırdan küçük olacaktır. Buna göre n’nin değerini 2’den büyük buluruz.

Sonuç olarak m sayısı 4’ten ve n sayısı 2’den büyük olduğu için bu iki sayının toplamı 6’dan büyük olacaktır.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Analitik düzlemde verilen iki noktanın arasındaki uzaklığı kolaylıkla bulabiliriz. Analitik düzlemde verilen A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları için ilk olarak her iki noktadan da eksenlere dik çizeriz. İki noktayı da birleştirdiğimizde eksenlere çizdiğimiz diklerle birlikte ortada bir dik üçgen(ABC) oluşacaktır. Bu dik üçgenin dik kenar uzunlukları eksenlerde kestiğimiz değerlerin farkına eşit olacaktır. Bu dik kenarların uzunluklarını bulduktan sonra Pisagor teoremiyle hipotenüs uzunluğunu bularak iki nokta arasındaki uzaklığa ulaşmış oluruz.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

ABC üçgeninde Pisagor teoremi uyguladığımızda

Buna göre iki nokta arasındaki uzaklık ise aşağıdaki gibi olur.

Örnek: M(3,-4) ve N(-2,8) noktaları arasındaki uzaklığı bulalım.

İlk olarak x değerlerinin kendi arasındaki ve y değerlerinin kendi arasındaki farkları bulalım.

Bu değerler bir dik üçgenin dik kenar uzunlarıdır ve pisagor teoreminde bu kenarları kullanarak hipotenüsü yani iki noktanın arasındaki uzaklığı bulacağız.

Örnek: A(2,5), B(-4,1) ve C(0,m) olsun. Bu durumda |AB|=|BC| olduğuna göre m sayısının alabileceği değerleri bulalım.

|AB| ve |BC| uzunlukları eşit olduğuna göre her ikisi için de iki nokta arasındaki uzaklık bulma yöntemimizi kullanırız ve birbirine eşitleyerek sonuca ulaşabiliriz.

Bulduğumuz bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim.

İnstagramdan Bikifi'yi Takip Et
Benzer İçerikler
Trigonometrik Fonksiyonlar
Güncel
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar

İçeriğe Git
Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler
Güncel
Matematik

Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler

İçeriğe Git
Dik Üçgende Trigonometri
Güncel
Matematik

Dik Üçgende Trigonometri

İçeriğe Git
Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları
Güncel
Matematik

Trigonometrik Fonksiyonlar: 90 Derece ve Katları Şeklindeki Açıların Trigonometrik Oranları

İçeriğe Git
Analitik Düzlemde Doğrunun Eğimi
Güncel
Matematik

Analitik Düzlemde Doğrunun Eğimi

İçeriğe Git
Analitik Düzlemde Doğrunun Denklemi
Güncel
Matematik

Analitik Düzlemde Doğrunun Denklemi

İçeriğe Git
Copyright © 2022 Bikifi
Star Logo
tiktok Logo
Pinterest Logo
Instagram Logo
Twitter Logo