Deney – Çıktı – Örnek Uzay
Bir madeni para havaya atıldığında üst yüze gelebilecek yazı veya tura olarak 2 farklı durum vardır. Bir zar atıldığında üst yüze gelebilecek 6 farklı durum vardır.
Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi, yeni bilgi kazanmak, olayların gelişimini incelemek için yapılan çalışmalara deney, deneyin mümkün olan her sonucuna çıktı (sonuç) adı verilir.
Paranın veya zarın atılması deneydir. Yazı-tura veya zarda 1,2,3,4,5,6 sayılarından birinin gelmesi deneyin çıktılarıdır.
Deneyin sonucunda elde edilen bütün çıktıların kümesine örnek uzay (örneklem uzayı) denir ve E ile gösterilir.
Bu kavramları, bir madeni paranın bir kez havaya atılması ile ilgili hazırlanmış aşağıdaki tablodan inceleyebilirsiniz.
| Deney | Çıktılar | Örnek Uzay |
|---|---|---|
| Madeni paranın bir kez havaya atılması | Tura(T), Yazı(Y) | E= {T,Y} |
| Zarın bir kez atılması | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | E={1,2,3,4,5,6} |
Örnek: Bir madeni paranın 3 kez havaya atılmasının örnek uzayını hesaplayalım.
E={(Y,Y,Y), (Y,Y,T),(Y,T,Y),(Y,T,T),(T,Y,Y),(T,T,Y),(T,T,T)} şeklinde örnek uzay tanımlanabilir ve s(E)=8 olur.
Art arda yapılan madeni para atma deneyinde para; n kez atıldığında elde edilen çıktıların sayısı 2n dir.
Olay – İmkansız Olay – Kesin Olay- Ayrık Olay
Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.
Bir deney sonucunda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaya imkansız olay denir. İmkansız olayın olasılığı 0’dır (Zar atılması olayında üste gelen sayının 6 dan büyük olması gibi).
Bir deney sonucunda gerçekleşmesi mümkün olan tüm durumların kümesine kesin olay denir. Kesin olayların olasılığı 1 dir. Örneğin bir çift zar atılması olayında üst yüze gelen sayıların toplamının 13 ten küçük olma ihtimali kesindir.
A ve B aynı örneklem uzayına ait iki olay olsun. A ve B olaylarının ortak elemanı yoksa ya da iki olayın aynı anda gerçekleşmesi mümkün değilse bu olaylara ayrık olaylar denir. A ve B olaylarının kesişim kümesi boş küme değil ise bu olaylar ayrık olay değildir.
Olasılık Hesabı
Sonlu bir örneklem uzayının örneklem noktalarının oluşturduğu olaylar ayrıktır. Bu olayların olasılıkları belli ise E deki her bir olayın olasılığı bulunabilir.
E örneklem uzay, E de herhangi iki olay A ve B, A nın tümleyeni A’ olsun. P olasılık fonksiyonu olmak üzere A nın olma olasılığı P(A), B nin ki P(B) şeklinde gösterilir.
- P() = 0 ve P(E)=1
- 0P(A)1
- ise P(A) P(B)
- P(A’)=1-P(A) yani bir olayın gerçekleşme ve gerçekleşmeme olasılığı toplamı 1 dir.
- P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)
Eş Olumlu Örneklem Uzay
E={e1,e2 ,….en-1,en} sonlu bir örneklem uzay olsun. Eğer P olasılık fonksiyonu P(e1)=P(e2)=P(e3)=….=P(en) koşulunu sağlıyorsa yani tüm elemanların olasılıkları eşit ise E örneklem uzayına eş olumlu örnek uzay denir.
olur.
Örnek: Bir torbada bulunan 8 bilyeden 2 si sarı, 6 sı mavidir. Bu torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı nedir?
Torbada 8 bilye olduğundan bu deneyde örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=8; mavi bilyenin seçilmesi olayı A ise s(A)=6 dır.
Buna göre P(A)= olur.
Eş Olumlu Olmayan Örneklem Uzay
Bir deneye ait sonlu örnek uzay E={e1,e2 ,….en-1,en } olsun. Bu örnek uzayın en az bir elemanının olasılığı diğerlerinden farklı ise bu E örnek uzayına eş olumlu olmayan örnek uzay denir.
