Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri

Veri Nedir? Neye Denir?

Bir sonuç çıkarmak ya da çözüme ulaşabilmek için gözlem, deney, araştırma gibi yöntemlerle elde edilen her bilgiye veri denir.

Veri Türleri

Veriler, kesikli ve sürekli veri olmak üzere ikiye ayrılır.

Kesikli Veri

Belirli bir aralıktaki her gerçek sayı değerini alamayan veriye kesikli veri adı verilmektedir. Kesikli veriye şu örnekler verilebilir:

• Bir gazetenin haftalık satış sayısı
• Okulun kantininden alışveriş yapan öğrencilerin günlere göre sayısı
• Nesli tükenmekte olan bir kuş türünün yıllara göre nüfus sayısı

Sürekli Veri

Belirli bir aralıktaki her gerçek sayı değerini alabilen veriye sürekli veri denilmektedir. Sürekli veriye şu örnekler verilebilir:

• Bir bitkinin yıllara göre boyunun uzama verisi
• Bir şehrin aylara göre sıcaklık değişimi
• Bir hanenin veya bir ilçenin aylara göre elektrik veya su tüketim verisi

Verilerin Yorumlanması

Elde edilen verilerin yorumlanmasında merkezi eğilim ve merkezi yayılım ölçüleri kullanılır. Bu ölçülerin kullanılmasındaki amaç; elde edilen farklı veriler arasında bir ilişki kurabilmeyi sağlamaktır.

Örneğin; bir sınıfın 2019 yılında yapılan bir sınavda aldığı notlardan oluşan bir veriyle aynı sınıfın 2021 yılında yapılan bir sınavdan aldığı notlardan oluşan veri arasında bir kıyaslama yapmak istediğimizde merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri matematiksel olarak verileri kıyaslamamızı sağlar.

Merkezi Eğilim Ölçüleri Nelerdir?

Merkezi eğilim ölçüleri, verilerin hangi değer etrafında toplandığını gösterir. Bu ölçüler; aritmetik ortalama, ortanca değer (medyan), tepe değer (mod) ölçüleri olmak üzere üç tanedir.

Not: Medyan ve mod değerlerini bulabilmek için verilerin küçükten büyüğe doğru sıralanması gerekmektedir.

Aritmetik Ortalama

Aritmetik ortalama; x₁, x₂, x₃, …, x_n veri grubundaki verilerin toplamının veri sayısına (n) bölünmesiyle hesaplanır. Aritmetik ortalama şeklinde sembolize edilir.

Aritmetik ortalama verilerin genel durumu hakkında bir fikir verir.

Medyan (Ortanca Değer)

Doğru şekilde sıralanmış grubun orta değeridir. Medyan değeri Q₂ sembolüyle gösterilir. Medyan değeri bulunurken aşağıdaki kurallar uygulanır:

• Eğer veri sayısı tek sayıysa tam ortadaki değer o verinin medyanıdır.

• Eğer veri sayısı çift sayıysa ortada kalan 2 terimin aritmetik ortalaması medyan değerdir.

Mod (Tepe Değer)

Veri kümesinde en çok tekrarlanan veri, o veri kümesinin tepe değeridir (mod). Mod değeri bulunurken aşağıdaki kurallar uygulanır:

• Bir veri grubunun birden fazla modu olabilir.
• Veri grubunda bütün sayılar aynı sayıda tekrar ediyorsa o veri grubunun modu yoktur.

Örneğin; {8, 6, 9, 9, 7, 10, 18, 9, 7, 8, 7} verilerinden oluşan bir veri grubunun modu 7 ve 9’dur.

Merkezi Yayılım Ölçüleri Nelerdir?

Merkezi yayılım ölçüleri, verilerin birbirinden ne kadar uzakta olduğunu ölçer. Merkezi yayılım ölçüleri;

• En büyük ve küçük değer
• Açıklık (aralık)
• Alt, üst grup
• Alt, üst çeyrek
• Çeyrekler açıklığı
• Standart Sapma

gibi ölçülerden oluşmaktadır.

Not: Merkezi yayılım ölçülerinin değerlerini bulabilmek için verilerin küçükten büyüğe doğru sıralanması gerekmektedir.

Açıklık (Aralık)

Veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında elde edilen en büyük sayıya veri grubunun en büyük değeri, en küçük sayıya ise veri grubunun en küçük değeri denir.

Veri grubunun en büyük ve en küçük değeri arasındaki fark açıklık (aralık) olarak tanımlanır.

Çeyrekler Açıklığı

Doğru sıralanmış bir veri grubunda, önce medyan (ortanca değer) bulunur. Medyandan küçük olan gruba alt grup, büyük olan gruba üst grup adı verilir.

Alt grubun medyan değerine alt çeyrek (Q₁), üst grubun medyan değerine üst çeyrek (Q₂) denir.

Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki farka çeyrekler açıklığı (Q) denir.

Standart Sapma

Yukarıda değinildiği üzere aritmetik ortalama veri kümesi hakkında genel bir gözlem verebilir, ancak aritmetik ortalamanın oluşturduğu genel gözlemin matematiksel olarak daha fazla anlam taşıması için geliştirilmesi gerekir. Standart sapma bu gelişimi sağlar. Bir veri grubundaki her bir verinin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını standart sapma kavramı gösterir. Standart sapma S ile gösterilir.

Bir veri kümesinin standart sapmasının,

• Yüksek olması verilerin aritmetik ortalamadan uzak, düşük olması ise aritmetik ortalamaya yakın demektir.
• Düşük olması veri grubunun homojen, yüksek olması ise heterojen olduğunu gösterir.

Standart Sapma Verisiyle YKS’yi değerlendirmek

YKS sınavı gibi ölçme değerlendirme sınavlarında standart sapmanın yüksek olması seviye farklılığının yüksekliğini, standart sapmanın düşük olması ise sınava giren adayların seviyelerinin birbirine yakın olduğunu ifade eder.

Örneğin aşağıda 2019 ve 2021 yılında yapılan YKS – TYT sınavının testlere göre düzenlenmiş standart sapma verisini görebilirsiniz.

Yukarıdaki verilere göre temel matematik testi için 2021 yılında sınava giren adayların 2020 ve 2019 yılındaki adaylara göre daha yakın seviyelerde olduğu sonucu çıkarılabilir.

Standart Sapmanın Hesaplanması

1. Veri grubunu aritmetik ortalaması bulunur.
2. Her bir verinin aritmetik ortalama ile farkının kareleri toplamı bulunur
3. Bulunan toplam, veri sayısının bir eksiğine bölünür
4. Elde edilen sonucun karekökü alınır.