Aritmetik diziler eşit aralıklarla artıp azaldığı için doğrusal bir artış veya azalış gösterirler.
dizisi bir aritmetik dizi olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitlikler sağlanır.
d: Aritmetik dizinin ortak farkı
Ardışık her iki terim arasındaki fark eşit olduğundan bir terime her d farkını eklediğimizde bir sonraki terimi elde ederiz.
- ….
Buradan aritmetik dizisini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.
Bir aritmetik dizinin genel terimi şeklinde yazılır.
Örnek olarak 12,8,4,0,-4,-8,… biçimindeki dizinin genel terimini bulalım.
Diziyi incelediğimizde her terimin bir önceki terimden 4 daha azdır. Bu nedenle ortak fark d=-4 olur. Dizinin ilk terimi de 8 olduğuna göre bu bilgileri genel terim formülünde yerine koyarak dizinin genel terimini bulabiliriz.
Aritmetik Dizinin Özellikleri
1. bir aritmetik dizi ve olmak üzere, olur.
Aritmetik dizinin bir terimini veya genel terimini bulmak için herhangi bir terimini ve ortak farkı bilmemiz yeterlidir. Bunun sağlamasını aşağıda yapalım.
Örnek 1
olan aritmetik dizinin 17. terimini bulalım.
bağıntısını kullanarak ilk olarak aritmetik dizinin ortak farkını buluruz. Yine aynı bağıntıyla bildiğimiz bu iki terimden birini ve ortak farkı yerine koyarak istediğimiz terime ulaşabiliriz.
Buradan
- bulunur.
2. Bir sonlu aritmetik dizisinde baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamına eşittir. aritmetik dizisinde olur.
Sonlu aritmetik dizide ikinci terim ilk terimden ortak fark kadar fazla, sondan bir önceki terim son terimden ortak fark kadar az olacağından ikinci ve sondan bir önceki terim toplandığında ortak farklar birbirini götüreceğinden yine ilk ve son terimin toplamına eşit sonuca ulaşırız. Bu mantık sonraki terimler için de aynıdır. Aşağıda bu denklemin matematiksel ispatı bulunmaktadır.
Örnek olarak olur.
3. aritmetik dizisinde olmak üzere olur.
Aritmetik dizide herhangi bir n teriminin belli sayıda aşağısındaki terimle aynı sayıda yukarısında bulunan terimi topladığımızda ortak farklar birbirini götürür ve iki tane n terimini toplamış gibi oluruz. Bu nedenle bu terimleri topladıktan sonra ikiye bölersek bize n terimini verir.
Örnek olarak bir aritmetik dizide ise ilk 9 terimin toplamını bulalım.
Yukarıda herhangi iki terimin toplamının yarısının tam ortalarında bulunan terime eşit olduğunu öğrendik. Bu kuralı kullanarak 5. terimi buluruz. Aynı kuralı tersten işlediğimizde diğer terimlerin toplamını da buluruz.
- buluruz.
4. aritmetik dizisinin ilk n terim toplamı ise olur.
Bir aritmetik dizinin terimleri toplamını bulmanın yollarından biri ortanca terimi bulup terim sayısıyla çarpmaktır. İlk ve son terimin toplamı ortanca terimin iki katı olduğu için bunların toplamını terim sayısının yarısıyla çarpmak yine aynı sonucu verecektir.
Örnek olarak 50 ile 100 arasındaki 3 ile bölünebilen tam sayıların toplamını bulalım.
50 ile 100 arasında 51,54,57,…,99 sayıları 3 ile bölünebilmektedir. Bu sayılar aritmetik dizimizin terimleri olacaktır. Aritmetik dizinin ortak farkı ise d=3 olur. Dizinin terim sayısını da bulduktan sonra terimlerin toplamını veren bağıntıya tüm bilgileri koyarak sonuca ulaşırız.
