Bir Dizinin Kısmi Toplamları
Bir an dizisinin ilk teriminden n. terimine kadar tüm terimlerinin toplamına dizinin kısmi toplamı denir ve Sn ile gösterilir.
- …..
Diziler genellikle bir kural çerçevesinde ilerlediği için terimler benzer şekilde ilerler. Bir dizinin ilerleyiş şeklini inceledikten sonra aşağıdaki durumlara göre farklı yollar izleyebiliriz.
- Her terim aynıysa bir terimi n terim sayısıyla çarparız.
- Her terim toplama veya çıkartma işlemi olmaksızın bir sonuç veriyorsa direkt toplam formüllerini uygulayabiliriz.
- Terimler arada toplama veya çıkartma işlemi olarak iki grupsa ve bunlardan biri sabit diğeri belli kuralda ilerliyorsa, bu iki grubu direkt toplayıp çıkartmak yerine sabit olanları n terim sayısıyla çarpar diğerlerinin toplamını da toplam formülleriyle bularak bulduğumuz iki sonucu birbiriyle toplayabilir veya birbirinden çıkartabiliriz.
- Terimler arada toplama veya çıkartma işlemi olarak iki grupsa ve iki grup da ayrı kurallarda ilerliyorsa, yine bu iki grubu ayrı tutarak toplam formülleriyle toplamlarını bulur sonra iki sonucu birbiriyle toplayabilir veya birbirinden çıkartabiliriz.
- Yukarıdaki yollara alternatif olarak terimler arada çıkartma işlemi olan iki gruptan oluşuyorsa ve bir terimin çıkartma işleminin sağındaki sayı sonraki terimin solunda yer alıyorsa bunlar birbirini götürür. Böylece her terimde böyle sadeleşme olur ve en sona ilk terimin solundaki sayıyla son terimin sağındaki sayı kalır.
Bu farklı yolları örneklerde uygulayarak pekiştirelim.
Örnekler
Örnek 1: Genel terimi olan dizinin ilk n terimin toplamını bulalım.
Dizinin her terimi aynı olacağından n terimin toplamını bulmak istediğimizde bir terimden n tane olacağı için bir terimi n ile çarpmamız bize dizinin kısmi toplamını verecektir.
- …..
Örnek 2: Genel terimi olan dizinin ilk n teriminin toplamını bulalım.
Dizinin terimleri bir sayının kuvvetleri şeklinde ilerlediği için direkt toplam formüllerini kullanarak dizinin kısmi toplamına ulaşabiliriz.
Toplam Formülü:
Bize verilen dizide bu toplam formülünü uygularız fakat sıfırıncı kuvveti dahil olmadığı için sonuçtan 1 çıkartırız.
Ayrı bir yol olarak ilk terimden itibaren tek tek kısmi toplamları yazarak sonuçları arasında kurduğumuz ilişkiden çıkarım yapabiliriz.
Örnek 3: Genel terimi olan dizinin ilk n teriminin toplamını bulalım.
Dizinin genel terimini iki gruba ayırırsak 4n kısmını toplam formülüyle bulur, 2’leri ise n tane olacağı için n ile çarparak bulduğumuz sonucu toplam formülüyle bulduğumuz sonuçtan çıkartırız.
Toplam Formülü:
Örnek 4: Genel terimi olan dizinin ilk n teriminin toplamını bulalım.
Direkt olarak toplam formülü uygulayarak kısmi toplama ulaşabiliriz.
Toplam Formülü:
Kısmi toplamı bulmak için toplam formülünü uygularız fakat ilk iki terim bize verilen dizi de eksik olduğu için onları çıkartırız.
Başka bir yoldan çözmek istersek genel terimi basit kesirlerin farkı şeklinde yazalım.
şeklinde yazabiliriz.
Terimleri alt alta yazdığımızda sırasıyla sadeleştirme yapabiliriz.
- …..
Toplam Sembolü
Bir dizinin kısmi toplamını ifade etmenin bir yolu da toplam sembolüdür. Toplam sembolü (sigma)’dır.
- n=Üst sınır
- r=Alt sınır
- k=İndis
biçiminde yazılan ifade bize k gördüğümüz yere sırasıyla k=1’den başlayarak n sayısına kadar sırasıyla yazmamızı ve bunları toplamamızı söyler.
Bir dizisi için ilk n teriminin toplamını
şeklinde yazabiliriz.
Örnek olarak toplamını bulalım.
Başka bir örnek olarak toplamını bulalım.
