Polinomlarda Dört İşlem

📅 01 Şubat 2022|20 Eylül 2022
Güncel
Polinomlarda Dört İşlem

Konu Özeti

Sayılarda olduğu gibi polinomlarda da toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir. Bazı sorularda polinomlarda dört işlem yapıldıktan sonra oluşan polinomun derecesi istenebilir. Bu değer bir takım kısa yollar kullanılarak bulunabilir.

Bu konuda
  • Bir polinomun doğal sayı veya başka bir polinomla olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini
  • Bir polinomun bir ifadeye tam bölünmediği durumda bölümünden kalanı bulmayı
öğreneceksiniz.

Sayılarda yaptığımız dört işlem gibi polinomlarda da dört işlem yapabiliriz. Polinomlarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir.

❗❗ Uyarı: Sorularda polinom işlemleri yapılırken sadece polinomun derecesi hakkında yorum yapılması istenebilir. Böyle bir durumda polinomu sadece xn şeklinde düşünerek istenen işlemi gerçekleştirebilirsiniz.

Polinomlarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

Sayılardaki toplama işlemi gibi polinomlarda da toplama işlemi yapılır. Polinomların aynı dereceli terimleri kendi arasında toplanıp çıkarılabilir.

Polinomlarda toplama ve çıkarma işlemi sonucunda elde edilen polinomun derecesi, derecesi en büyük olan polinomun derecesine eşit olur.

Örnek



polinomları veriliyor.
P(x)+Q(x) ve 2.P(x)-3Q(x) işlemlerinin sonucunu bulunuz.

Çözüm





Polinomlarda Çarpma İşlemi

Polinomlar çarpılırken birinci polinomun ilk terimi, ikinci polinomun her terimiyle ayrı ayrı çarpılır. Bu işlem birinci polinomun tüm terimleri için tekrar edilir. Terimlerin birbirleriyle çarpılması bittiğinde elde edilen benzer terimliler toplanır ve tek bir polinom cinsinden yazılır.

Örnek



Olduğuna göre, P(x).Q(x) i bulunuz.

Çözüm

  • Dağılma özelliği kullanılarak çarpılır ise,
  • Düzenlemeler yapıldığında
  • bulunur.

Çarpma İşleminin Özellikleri

P(x) polinomunun derecesi b ve Q(x) polinomunun derecesi k olmak üzere,

  1. P(x) * Q(x) işleminin derecesi = der[P(x) * Q(x)] = b+k olur.
  2. P{Q(x)} işleminin derecesi = der[P{Q(x)}] = b*k olur.
  3. işleminin derecesi = der[] = n*b olur.
  4. işleminin derecesi = der[] = n*b olur.

🚀 Çarpma işleminin derece cinsinden hesaplanmasını kolaylaştırmak için derecesi b olan P(x) polinomu olarak düşünülebilir. Aynı şekilde derecesi k olan Q(x) polinomu için olarak düşünülebilir.

Polinomlarda Bölme İşlemi

P(x), Q(x) birer polinom, ve der[P(x)] der[Q(x)] olmak üzere; polinomları arası bölme işlemi şu şekilde gerçekleştirilir.

Polinomlarda Bölme İşlemi

Bölme İşleminin Özellikleri

  1. der[K(x)]<der[Q(x)]
  2. K(x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.
  3. P(x) polinomunun derecesi b, Q(x) polinomunun derecesi k olmak üzere;

Polinomlarda Bölme İşleminde Kalan Bulma

Yukarıdaki bölme işleminden yola çıktığımızda, P(x) = Q(x) * B(x) + K(x) olarak ifade edilir.

P(x) polinomunun Q(x) polinomuyla bölünmesinden kalan K(x) olacaktır.

  1. Kalanı bulmak için Q(x) polinomunu ax+b şeklinde ifade edelim.
  2. Böylece ax+b denkleminin kökü (yani bu ifadeyi sıfır yapan değer)
    • Örneğimiz için kök değerimiz, olacaktır.
  3. Bu durumda, P(x) = (ax+b) * B(x) + K(x) olacaktır.
  4. Ardından Q(x) polinomunu sıfır yapan değer (2. adımda bulunan) P(x) polinomunda yerine yazılır.
  5. Bölen polinomun kökleri bölünen polinomunda yerine yazıldığında bulunan değer kalanı verir.

Örnek

polinomunun x+1 ile bölümünden elde edilen bölümü bulunuz.

Çözüm

Polinomlarda Bölme İşlemi

Polinomun Q(x)’e Tam Bölünmesi

P(x) polinomu Q(x)’ tam bölünüyorsa bölme işleminin 2. özelliğinden dolayı K(x) polinomunun 0’a eşit olduğu bilinmektedir. Bu koşulu yukarıdaki son denklemde yerine koyduğumuzda

Sonucunu elde ederiz.

🚀 Yani Q(x) polinomuna tam olarak bölünen bir P(x) polinomuna, Q(x) polinomunun kökleri yazılırsa P(x) polinomu 0’a eşit olur.

Örnek

polinomu verilmiştir.

Çözüm

  1. P(x) in x-1 ile bölümünden kalan kaçtır?
    • x-1=0 ise x=1 değeri P(x) polinomunda yerine yazılırsa kalan bulunur.
    • P(x) in x-1 ile bölümünden kalan P(1)=1 olarak bulunur.
  2. P(x+1) in x+3 ile bölümünden kalan kaçtır?
    • x+3=0 ise x=-3 değeri bölünen P(x+1) polinomunda yerine yazılırsa kalan bulunur.
    • P(-3+1) = P(-2) olur.
    • P(x+1) in x+3 ile bölümünden kalan P(-2)=-29 olarak bulunur.
  3. P(2x-1) in x-2 ile bölümünden kalan kaçtır?
    • x-2=0 ise x=2 değeri P(2x-1) polinomunda yerine yazılırsa kalan bulunur.
    • P(2.(2)-1) = P(3) olur.
    • P(2x-1) in x-2 ile bölümünden kalan P(3)=-29 olarak bulunur.
İnstagramdan Bikifi'yi Takip Et
✍ Ders Notları
4 Hafta📂 10. Sınıf Matematik
Benzer İçerikler
Bölünebilme Kuralları
Güncel
Matematik

Bölünebilme Kuralları

İçeriğe Git
Polinom Kavramı
Güncel
Matematik

Polinom Kavramı

İçeriğe Git
Kümelerde İşlemler
Güncel
Matematik

Kümelerde İşlemler

İçeriğe Git
Çarpanlara Ayırma
Güncel
Matematik

Çarpanlara Ayırma

İçeriğe Git
Sayma ve Olasılık
Güncel
Matematik

Sayma ve Olasılık

İçeriğe Git
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri
Güncel
Matematik

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

İçeriğe Git
Copyright © 2022 Bikifi
Star Logo
tiktok Logo
Pinterest Logo
Instagram Logo
Twitter Logo