Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar

Günlük hayatta sürekli karşılaştığınız durumları matematiksel olarak ifade etmenin en güçlü yollarından biri fonksiyonlardır. Bir arabanın aldığı yolu zamana bağlı olarak hesaplamak, bir ürünün fiyatının miktara göre değişimini görmek veya bir sporcunun performansının antrenman süresine göre gelişimini analiz etmek… Tüm bunlar fonksiyonlarla modellenir.

Bu derste, fonksiyonları sadece formül olarak değil, grafik ve tablo gibi farklı temsil biçimleriyle de göreceksiniz. Bir fonksiyonun grafiği, o fonksiyon hakkında birçok bilgiyi görsel olarak sunar. Grafiği okuyarak fonksiyonun hangi noktalarda sıfır olduğunu, nerede arttığını veya azaldığını, en büyük ve en küçük değerlerinin ne olduğunu anlayabilirsiniz. Ayrıca, bir değişkenin diğerine göre ne kadar hızlı değiştiğini hesaplamayı da öğreneceksiniz.

Bu bilgiler, matematik dersinin ötesinde fizik, kimya, ekonomi ve mühendislik gibi birçok alanda kullanılır. Örneğin bir şirketin kar-zarar durumunu analiz ederken, bir projenin maliyetini hesaplarken veya bir aracın hızını değerlendirirken bu kavramları kullanırsınız.

Fonksiyonun Grafik, Tablo Temsili ve Uygulamaları

Bir fonksiyonu farklı şekillerde gösterebiliriz. Bazen bir formül yazarız (örneğin ), bazen bir tablo oluştururuz, bazen de bir grafik çizeriz. Her temsil biçiminin kendine özgü avantajları vardır:

• Formül: Hesaplama yapmak için kullanışlıdır
• Tablo: Belirli değerleri hızlıca görmek için idealdir
• Grafik: Fonksiyonun genel davranışını ve eğilimlerini anlamak için en iyisidir

Grafik üzerinde bazı önemli noktalar ve özellikler vardır. Fonksiyonun eksenleri kestiği yerler, hangi bölgelerde pozitif veya negatif olduğu, nerede arttığı veya azaldığı gibi bilgiler grafik üzerinden kolayca okunabilir. Şimdi bu özellikleri tek tek inceleyelim.

Fonksiyonun x ve y Eksenlerini Kestiği Noktalar

Bir fonksiyonun grafiği koordinat sisteminde çizildiğinde, eksenlerle kesiştiği noktalar özel bir anlam taşır. Bu noktaları bulmak, fonksiyonu anlamak için ilk adımdır.

x Eksenini Kestiği Noktalar

Fonksiyonun grafiği x eksenini kestiğinde, o noktada y koordinatı sıfırdır. Bunun anlamı şudur: denklemini çözdüğünüzde bulduğunuz x değerleri, grafiğin x eksenini kestiği noktalardır.

Örnek: fonksiyonunu ele alalım. x eksenini kestiği noktaları bulmak için:

• yazarız.
• veya

Bu fonksiyonun grafiği x eksenini iki noktada keser: ve

y Eksenini Kestiği Nokta

Fonksiyonun y eksenini kestiği noktada ise x koordinatı sıfırdır. Bu noktayı bulmak çok kolaydır: fonksiyonda yazıp değerini hesaplarsınız.

Örnek: Yine fonksiyonu için:

Y eksenini kestiği nokta:

⚠️ Önemli not: Bir fonksiyonun x eksenini birden fazla noktada kesmesi mümkündür, ancak y eksenini en fazla bir noktada kesebilir. Bunun nedeni, bir x değerine karşılık sadece bir y değeri olması gerektiğidir (fonksiyon tanımı gereği).

Fonksiyonun Pozitif veya Negatif Değerli Olduğu Aralıklar

Bir fonksiyonun grafiğine baktığınızda, bazı bölgelerde grafiğin x ekseninin üzerinde, bazı bölgelerde ise altında kaldığını görürsünüz. Bu durum, fonksiyonun o aralıklarda pozitif veya negatif değer aldığını gösterir.

Pozitif Değerli Aralıklar

Fonksiyonun grafiği x ekseninin üzerinde kaldığı aralıklarda ‘dır. Bu aralıklarda fonksiyon pozitif değer alır.

Örnek: fonksiyonunu düşünelim. Daha önce x eksenini ve noktalarında kestiğini bulmuştuk.

• için (örneğin alırsak): → Pozitif
• için (örneğin alırsak): → Negatif
• için (örneğin alırsak): → Pozitif

Sonuç: Fonksiyon ve aralıklarında pozitiftir.

Negatif Değerli Aralıklar

Fonksiyonun grafiği x ekseninin altında kaldığı aralıklarda ‘dır. Bu aralıklarda fonksiyon negatif değer alır.

Yukarıdaki örnekte, fonksiyon aralığında negatiftir.

Gerçek hayat uygulaması – Kar-zarar analizi: Bir şirketin aylık karını gösteren fonksiyon düşünün. Fonksiyonun pozitif olduğu aylar, şirketin kar ettiği aylardır. Negatif olduğu aylar ise zarar ettiği aylardır. X eksenini kestiği noktalar, ne kar ne zarar edildiği (başabaş) aylardır.

İşaret tablosu: Karmaşık fonksiyonlarda pozitif ve negatif aralıkları bulmak için işaret tablosu kullanabilirsiniz. Önce fonksiyonun köklerini (x eksenini kestiği noktaları) bulun, sonra bu kökler arasındaki aralıklarda fonksiyonun işaretini test edin.

Fonksiyonun Artan veya Azalan Olduğu Aralıklar

Bir fonksiyonun grafiğini soldan sağa doğru takip ettiğinizde, bazen yukarı doğru tırmanır, bazen aşağı doğru iner, bazen de düz gider. Bu davranış, fonksiyonun o aralıklarda artan, azalan veya sabit olduğunu gösterir.

Monotonluk kavramı, fonksiyonun bu düzenli artış veya azalış davranışını tanımlar. Bir aralıkta sürekli artan veya sürekli azalan fonksiyonlara monoton fonksiyonlar denir.

Artan Fonksiyon

Bir fonksiyon, belirli bir aralıkta artan ise, bu aralıktaki herhangi iki noktayı ele aldığınızda şu durum geçerlidir:

Eğer ise, o zaman olur.

Başka bir deyişle, x değerleri arttıkça, fonksiyon değerleri de artar. Grafikte bu durum, soldan sağa doğru yukarı çıkan bir çizgi ile görülür.

Doğrusal fonksiyonlarda: şeklindeki bir fonksiyon için:

• ise fonksiyon her yerde artandır
• değeri ne kadar büyükse, fonksiyon o kadar dik artar

Günlük hayat örneği – Zaman-mesafe: Sabit hızla ilerleyen bir araç düşünün. Zaman geçtikçe aldığı yol artar. Hız-zaman grafiğinde bu artan bir fonksiyonla gösterilir. Eğer araç hızlanıyorsa, grafik daha dik bir şekilde yükselir.

Azalan Fonksiyon

Bir fonksiyon, belirli bir aralıkta azalan ise, bu aralıktaki herhangi iki noktayı ele aldığınızda şu durum geçerlidir:

Eğer ise, o zaman olur.

Başka bir deyişle, x değerleri arttıkça, fonksiyon değerleri azalır. Grafikte bu durum, soldan sağa doğru aşağı inen bir çizgi ile görülür.

Doğrusal fonksiyonlarda: şeklindeki bir fonksiyon için:

• ise fonksiyon her yerde azalandır
• değerinin mutlak değeri ne kadar büyükse, fonksiyon o kadar dik azalır

Günlük hayat örneği – Su tüketimi: Bir deponun suyunun zamanla tüketilmesini düşünün. Musluk açıkken zaman geçtikçe depodaki su miktarı azalır. Bu azalan bir fonksiyonla modellenebilir.

Sabit Fonksiyon

şeklindeki sabit fonksiyonlar ne artan ne de azalandır. Bu fonksiyonlarda x değeri ne olursa olsun, fonksiyon değeri hep aynıdır (). Grafikte x eksenine paralel bir düz çizgi olarak görülür.

En Geniş Artan/Azalan Aralıklar

Bir fonksiyonun grafiğinde, fonksiyonun davranışının değiştiği noktalar vardır. Bu noktalara yerel maksimum veya yerel minimum noktalar denir. Fonksiyon, bu noktalardan önce artan iken sonra azalan olabilir veya tam tersi olabilir.

En geniş artan aralık, fonksiyonun kesintisiz olarak arttığı en uzun aralıktır. Benzer şekilde, en geniş azalan aralık da fonksiyonun kesintisiz olarak azaldığı en uzun aralıktır.

Örnek: fonksiyonunu düşünelim.

• için fonksiyon azalandır (örneğin , )
• için fonksiyon artandır (örneğin , )
• noktası bir minimum noktadır

Bu fonksiyonun en geniş azalan aralığı , en geniş artan aralığı ise dır.

⚠️ Dikkat: Aralıkları yazarken parantez türlerine dikkat edin:

• Açık aralık : a ve b değerleri dahil değil
• Kapalı aralık : a ve b değerleri dahil
• Yarı açık aralık veya : Sadece bir uç dahil

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

Bir fonksiyonun aldığı en büyük ve en küçük değerler, birçok gerçek hayat probleminin çözümünde kritik öneme sahiptir. Örneğin bir şirket maksimum karı elde etmek ister, bir mühendis minimum maliyetle proje tamamlamayı hedefler, bir sporcu maksimum performansa ulaşmayı amaçlar.

Maksimum Nokta ve Değer

Bir fonksiyonun maksimum noktası, fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktadır. Bu noktayı olarak gösterebiliriz.

Maksimum değer ise bu noktanın y koordinatıdır, yani değeridir.

Matematiksel tanım: Tanım kümesindeki tüm x değerleri için şartını sağlayan değerine maksimum noktası, değerine ise maksimum değer denir.

Örnek: fonksiyonunu ele alalım. Bu bir ters paraboldür ve en yüksek noktası tepe noktasıdır.

Tepe noktası için oluşur:

Maksimum nokta: Maksimum değer:

Herhangi başka bir x değeri için fonksiyon değeri 4’ten küçüktür. Örneğin:

Günlük hayat örneği – En yüksek sıcaklık: Bir günün sıcaklık değişimini gösteren fonksiyonda, maksimum değer günün en sıcak anındaki sıcaklıktır. Meteoroloji raporlarında “bugünün en yüksek sıcaklığı 32°C” dendiğinde, sıcaklık fonksiyonunun maksimum değeri kastedilir.

Minimum Nokta ve Değer

Bir fonksiyonun minimum noktası, fonksiyonun en küçük değerini aldığı noktadır. Bu noktayı olarak gösterebiliriz.

Minimum değer ise bu noktanın y koordinatıdır, yani değeridir.

Matematiksel tanım: Tanım kümesindeki tüm x değerleri için şartını sağlayan değerine minimum noktası, değerine ise minimum değer denir.

Örnek: fonksiyonunu ele alalım. Bu bir paraboldür ve en düşük noktası dip noktasıdır.

Dip noktası için oluşur:

Minimum nokta: Minimum değer:

Herhangi başka bir x değeri için fonksiyon değeri -4’ten büyüktür.

Günlük hayat örneği – En düşük maliyet: Bir ürünün üretim miktarına bağlı maliyet fonksiyonunda minimum nokta, en düşük maliyeti veren üretim miktarını gösterir. Fabrikalar verimliliği artırmak için bu noktayı hedefler.

⚠️ Önemli uyarı: Her fonksiyonun maksimum veya minimum değeri olmayabilir. Örneğin fonksiyonunun ne bir maksimumu ne de bir minimumu vardır, çünkü x değerleri sonsuza gittikçe fonksiyon değerleri de sonsuz büyür veya küçülür.

Ayrıca, tanım kümesi sınırlıysa, maksimum ve minimum değerler tanım kümesinin uç noktalarında olabilir. Örneğin fonksiyonunun tanım kümesi ise:

• Minimum değer:
• Maksimum değer:

Yerel Maksimum ve Yerel Minimum

Bazı fonksiyonlarda birden fazla tepe veya dip noktası olabilir. Bu noktalara yerel maksimum ve yerel minimum denir. Yerel maksimum, yakınındaki tüm noktalara göre en büyük değeri alır, ancak tüm fonksiyon için en büyük olmayabilir.

Örneğin, bir dağlık arazide birden fazla tepe vardır. Her tepe kendi çevresinde en yüksek noktadır (yerel maksimum), ancak sadece en yüksek dağ genel maksimumu oluşturur.

Bir Fonksiyonun Ortalama Değişim Hızı

Gerçek hayatta birçok büyüklük zamanla değişir: Bir arabanın hızı, bir şirketin karı, bir ülkenin nüfusu… Bu değişimlerin ne kadar hızlı olduğunu anlamak için ortalama değişim hızı kavramını kullanırız.

Ortalama değişim hızı, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta ortalama olarak ne kadar hızlı değiştiğini gösteren bir sayıdır. Geometrik olarak, fonksiyon grafiği üzerindeki iki noktayı birleştiren kesen doğrusunun eğimi olarak tanımlanır.

Bir fonksiyonunun aralığındaki ortalama değişim hızı şu formülle hesaplanır:

Bu formülü başka şekillerde de yazabiliriz:

Burada:

• (delta y): y’deki değişim miktarı
• (delta x): x’teki değişim miktarı

Eğer bu iki noktayı birleştiren kesen doğrusunun x ekseni ile yaptığı açı ise:

Örnek: Bir araç 2. saniyede 10 metre, 5. saniyede 25 metre yol almışsa, aralığındaki ortalama değişim hızı:

Bu, aracın bu aralıkta ortalama 5 m/s hızla gittiğini gösterir.

Fiziksel yorum: Zaman-konum grafiğinde ortalama değişim hızı, ortalama hızı verir. Benzer şekilde, zaman-hız grafiğinde ortalama değişim hızı, ortalama ivmeyi verir.

Ortalama Değişim Hızının Yorumu

Ortalama değişim hızının değeri ve işareti, fonksiyonun davranışı hakkında önemli bilgiler verir.

İşaret yorumu:

1. Pozitif değer (): Fonksiyon o aralıkta ortalama olarak artıyor demektir. x arttıkça y de artıyor. Örnek: Bir öğrencinin matematik notunun dönemler boyunca artması. 1. dönem 60, 3. dönem 80 ise ortalama değişim hızı pozitiftir.
2. Negatif değer (): Fonksiyon o aralıkta ortalama olarak azalıyor demektir. x arttıkça y azalıyor. Örnek: Bir telefonun batarya seviyesinin kullanım süresine göre azalması. Saat 10’da %80, saat 14’te %40 ise ortalama değişim hızı negatiftir.
3. Sıfır değer (): Fonksiyon o aralıkta ortalama olarak değişmiyor demektir. Başlangıç ve bitiş değerleri aynıdır. Örnek: Bir bölgenin yıllık ortalama sıcaklığı 2020’de 15°C, 2024’te yine 15°C ise ortalama değişim hızı sıfırdır (ara yıllarda değişmiş olsa bile).

Büyüklük yorumu:

Ortalama değişim hızının mutlak değeri (işareti olmadan) ne kadar büyükse, değişim o kadar hızlı demektir.

• ile karşılaştırıldığında, ilk durumda değişim daha hızlıdır.
• ile karşılaştırıldığında, ilk durumda azalma daha hızlıdır.

Günlük hayat örneği – Satış artış hızı: Bir mağazanın Ocak ayında 1000 TL, Haziran ayında 4000 TL cirosu varsa, ortalama değişim hızı:

Bu, mağazanın cirosunun ayda ortalama 600 TL arttığını gösterir.

Doğrusal ve Sabit Fonksiyonlarda Özel Durumlar

Bazı fonksiyonlarda ortalama değişim hızı özel özellikler gösterir.

Doğrusal fonksiyonlar: şeklindeki fonksiyonlarda, hangi aralığı seçerseniz seçin, ortalama değişim hızı hep aynıdır ve ‘ye (fonksiyonun eğimi) eşittir.

İspat: İki nokta alalım: ve

Bu sonuç çok önemlidir: Doğrusal fonksiyonlarda değişim hızı sabittir! Bu yüzden bu fonksiyonlara “doğrusal” denir.

Örnek: fonksiyonunda, istediğiniz iki nokta arasındaki ortalama değişim hızı her zaman 3’tür. Bu, x’te 1 birimlik artış olduğunda y’de 3 birimlik artış olacağı anlamına gelir.

Sabit fonksiyonlar: şeklindeki fonksiyonlarda, fonksiyon hiç değişmediği için ortalama değişim hızı her zaman sıfırdır.

⚠️ Önemli not: Doğrusal olmayan fonksiyonlarda (örneğin paraboller, üstel fonksiyonlar) ortalama değişim hızı, seçilen aralığa bağlı olarak değişir. Bu fonksiyonlarda değişim hızı farklı noktalarda farklı olabilir.

Karşılaştırma örneği:

İki fonksiyonu karşılaştıralım: (doğrusal) ve (doğrusal olmayan)

aralığında:

• için:
• için:

aralığında:

• için: (yine aynı!)
• için: (değişti!)

Görüldüğü gibi, doğrusal fonksiyonda değişim hızı sabitken, parabolde değişim hızı artar.

Fizik bağlantısı: Sabit hızla giden bir araç için konum-zaman grafiği doğrusal bir fonksiyondur ve eğimi hızı verir. Hızlanan bir araç için ise konum-zaman grafiği parabolik olur ve ortalama hız zamana bağlı olarak değişir.

📚 Konuyla İlgili Terimler Özeti

• ⭐⭐⭐ Ortalama değişim hızı: Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta birim başına ortalama ne kadar değiştiğini gösteren sayısal değerdir. Formülü şeklindedir. Geometrik olarak, fonksiyon grafiği üzerindeki iki noktayı birleştiren kesen doğrusunun eğimine eşittir. Günlük hayatta ortalama hız, ortalama kar artışı, ortalama nüfus değişimi gibi hesaplamalarda kullanılır. Örnek: Bir öğrencinin 1. dönem notu 60, 3. dönem notu 90 ise, ortalama değişim hızı puan/dönemdir.
• ⭐⭐⭐ Maksimum değer: Bir fonksiyonun alabileceği en büyük değerdir. Maksimum noktanın y koordinatıdır. Tanım kümesindeki tüm x değerleri için şartını sağlayan değeridir. Grafik üzerinde en yüksek noktanın ordinatı olarak görülür. Günlük hayatta en yüksek kar, en fazla verim, en yüksek sıcaklık gibi durumları ifade eder. Örnek: Bir mağazanın günlük satış fonksiyonunda maksimum değer, en çok satış yapılan gündeki satış miktarıdır.
• ⭐⭐⭐ Minimum değer: Bir fonksiyonun alabileceği en küçük değerdir. Minimum noktanın y koordinatıdır. Tanım kümesindeki tüm x değerleri için şartını sağlayan değeridir. Grafik üzerinde en alçak noktanın ordinatı olarak görülür. Günlük hayatta en düşük maliyet, en az kayıp, en düşük sıcaklık gibi durumları ifade eder. Örnek: Bir ürünün birim başına üretim maliyeti fonksiyonunda minimum değer, en verimli üretim miktarındaki maliyettir.
• ⭐⭐ Artan fonksiyon: Belirli bir aralıkta, x değerleri arttıkça fonksiyon değerlerinin de arttığı durumdur. Matematiksel olarak, için şartını sağlar. Grafik üzerinde soldan sağa doğru yukarı çıkan bir çizgi olarak görülür. Örnek: Sabit hızla ilerleyen bir aracın zaman-mesafe grafiği artan bir fonksiyondur.
• ⭐⭐ Azalan fonksiyon: Belirli bir aralıkta, x değerleri arttıkça fonksiyon değerlerinin azaldığı durumdur. Matematiksel olarak, için şartını sağlar. Grafik üzerinde soldan sağa doğru aşağı inen bir çizgi olarak görülür. Örnek: Kullanım süresine bağlı telefon batarya seviyesi azalan bir fonksiyondur.
• ⭐⭐ Pozitif değerli aralık: Fonksiyonun sıfırdan büyük değerler aldığı, yani olduğu x değerleri kümesidir. Grafik üzerinde fonksiyonun x ekseninin üzerinde kaldığı bölgelerdir. Örnek: Bir şirketin kar fonksiyonunda pozitif değerli aralıklar, kar edildiği dönemleri gösterir.
• ⭐⭐ Negatif değerli aralık: Fonksiyonun sıfırdan küçük değerler aldığı, yani olduğu x değerleri kümesidir. Grafik üzerinde fonksiyonun x ekseninin altında kaldığı bölgelerdir. Örnek: Deniz seviyesine göre derinlik fonksiyonunda negatif değerler, denizin altındaki bölgeleri ifade eder.
• ⭐ Kesen doğrusu: Bir fonksiyonun grafiği üzerindeki iki farklı noktayı birleştiren doğrudur. Bu doğrunun eğimi, fonksiyonun bu iki nokta arasındaki ortalama değişim hızını verir. Kesen doğru, teğet doğrudan farklıdır; teğet doğru sadece bir noktada değerken, kesen doğru iki noktada değer.
• ⭐ Monoton fonksiyon: Belirli bir aralıkta sürekli olarak artan veya sürekli olarak azalan fonksiyonlara denir. Bu fonksiyonlarda düzenli bir değişim vardır, inişli çıkışlı değildir.
• ⭐ Yerel maksimum: Bir fonksiyonun belirli bir noktanın çevresindeki tüm noktalara göre en büyük değer aldığı noktadır. Tüm fonksiyon için en büyük olmayabilir, sadece yakın çevresinde en büyüktür. Dalgalı fonksiyonlarda birden fazla yerel maksimum olabilir.
• ⭐ Yerel minimum: Bir fonksiyonun belirli bir noktanın çevresindeki tüm noktalara göre en küçük değer aldığı noktadır. Tüm fonksiyon için en küçük olmayabilir, sadece yakın çevresinde en küçüktür. Dalgalı fonksiyonlarda birden fazla yerel minimum olabilir.