1. Bikifi
  2. Lise Ders Notları
  3. Fizik Ders Notları
  4. İtme ve Çizgisel Momentum

İtme ve Çizgisel Momentum

Kum taneleri demiri kesebilir mi? Su ile birlikte kum taneleri nasıl demiri kesebiliyor? Yüklü bir kamyonet neden yüksüz haline oranla daha zor yavaşlamaktadır. Yada bir araç yavaşlasa dahi neden anında duramıyor ve bir süre hareketine devam ediyor. Bu soruların hepsi itme ve çizgisel momentum konularıyla yakından ilgilidir. Bizde bu yazıda itme ve çizgisel momentum konularını inceledik.

İtme ve Çizgisel Momentum

Bir cisme etki eden kuvvet (F) ile kuvvetin cisim üzerinde etkime süresinin (Δt) nin çarpımına itme denir.

$$ \overrightarrow I = \overrightarrow F . \overrightarrow Δt $$
itme ve momentum
  • I sembolü ile gösterilir.
  • Kuvvet vektörel büyüklük olduğu için itme de vektörel bir büyüklüktür.
  • Kuvvet ile itme aynı yönlüdür.
  • İtmenin birimi N.s (Newton.saniye) dir

Bir cismin kütlesi ile hızının çarpımına o cismin momentumu denir.

$$ \overrightarrow P = m . \overrightarrow v $$
itme ve momentum
  • P sembolü ile gösterilir.
  • Hız vektörel büyüklük olduğu için momentumda vektörel büyüklüktür.
  • Momentum ve hız aynı yönlüdür.
  • Birimi €€kg.m\over s€€ dir.

İtme ve Momentum Arasındaki İlişki

İtme ve momentum arasında yakın bir ilişki vardır ve bunu dinamiğin temel prensibinden faydalanarak görebiliriz.

€€F_{Net}=m. \overrightarrow a €€

İvme, birim zamandaki hız değişimi olduğuna göre;

  • a yerine €€ Δ \overrightarrow v \over Δt €€ yazılırsa;
  • €€F_{Net}=m. {{Δ \overrightarrow v} \over Δt} €€
  • €€F_{Net}.Δt=m. Δ \overrightarrow v €€
  • €€F_{Net}.Δt=m. \overrightarrow v_{son}-m. \overrightarrow v_{ilk} €€
  • €€F_{Net}.Δt= \overrightarrow P_{son}- \overrightarrow P_{ilk} €€
  • €€ \overrightarrow I = Δ \overrightarrow P €€ olur.

Bu denkleme göre, bir cisme uygulanan itme cismin momentum değişimine eşittir.

Hareket ile aynı yönlü olan kuvvet arttığında ya da kuvveti uygulama süresi arttığında hareketlinin hızı artar. Hızdaki bu artış ise hareket miktarını arttırır.

Örneğin bir trenin durması için fren sistemi ile harekete ters yönde kuvvet uygulanır. Hareket halindeki trenin momentumu ne kadar büyük ise F.Δt formülünden dolayı durma mesafesi de o kadar fazla olacaktır. Daha kısa mesafede (daha kısa sürede) durdurmak için kuvvet arttırılabilir.

İtme ve Momentum ile İlgili Grafikler

1) Kuvvet-Zaman grafiğinin altında kalan alan itmeyi ve momentum değişimini verir.

itme ve momentum

Uygulanan kuvvetin doğrultusu aynı olmak kaydıyla yönü ve şiddeti değişebilir.

Şekil II de zaman ekseninin üstünde kalan alan pozitif itme değişimini, altında kalan alan negatif itme değişimini verir. Toplam itme alanların cebirsel toplamıdır.

2) Momentum- Zaman grafiğinin eğimi net kuvveti verir.

Aşağıdaki görselde görüldüğü gibi grafiğin eğimi kuvveti verir.

itme ve momentum

Eğimin işareti ve şiddeti kuvvetin işareti ve şiddeti ile aynıdır.

Çizgisel Momentum Korunumu

Bir cisme veya sisteme dışarıdan bir kuvvet etki etmediği sürece cismin ya da sistemin toplam momentumunda (vektörel toplamında) bir değişiklik olmaz.

Boşlukta bir cisim üzerinde çevresel hiçbir direncin olmadığı ve sürtünmenin olmadığı var sayarsak cismin hareketi sonsuza kadar devam edecektir.

  • €€ \overrightarrow I = Δ \overrightarrow P €€
  • €€ \overrightarrow F_{dış} Δt = \overrightarrow P_{son} – \overrightarrow P_{ilk}€€
  • €€ \overrightarrow F_{dış} =0€€ olduğunda €€ \overrightarrow P_{son} = \overrightarrow P_{ilk}€€ olur.

Çarpışmalar ve Çizgisel Momentumun Korunumu

Düzlem üzerinde hareket doğrultuları değişmeyecek şekilde gerçekleşen çarpışmalara bir boyutta çarpışma, hareket doğrultuları değişecek şekilde gerçekleşen çarpışmalara ise iki boyutta çarpışma denir.

Bilardo topları çarpıştıktan sonra farklı iki doğrultuda hareket ederek iki boyutlu çarpışma yapmıştır.

Gerçekleştiği boyuttan bağımsız olarak bütün çarpışmalar momentum korunumu ilkesine uyumlu davranır.

Çarpışmalar enerji korunumu açısından

  • Esnek çarpışma
  • Esnek olmayan çarpışma

olarak ikiye ayrılır.

Esnek Çarpışmalar

Momentumun çarpışma durumunda korunduğunu söylemiştik bununla birlikte kinetik enerjinin de korunduğu çarpışmalardır. Bu tür çarpışmalarda cisimler çarpışma sonrası birbirinden ayrı hareket eder. Bu demektir ki cisimler yapışmaz.

Merkezi esnek ve merkezi olmayan esnek çarpışma olarak iki kısımda incelenir.

1. Merkezi Esnek Çarpışma

Çarpışma cisimlerin kütle merkezleri çakışacak şekilde gerçekleşirse merkezi esnek çarpışma adını alır. Bu çarpışmada cisimler çarpıştıktan sonra birbirinden ayrı hareket ederek geliş doğrultularında hareket ederler. Aynı düzlemde olan cisimler için bu çarpışmanın gerçekleşmesi için boyutlarının aynı olması gerekir.

itme ve momentum

€€ \overrightarrow P_1 + \overrightarrow P_2 = \overrightarrow {P’}_1 + \overrightarrow {P’}_2 €€

cisimlerin hareket yönleri hızın işareti için önemlidir.

  1. Sağa kaydırın »»»
    €€ m_1 . \overrightarrow v_1 – m_2. \overrightarrow v_2 = – m_1 . \overrightarrow {v’}_1 + m_2. \overrightarrow {v’}_2 €€
    • Kinetik Enerji korunumu yazılırsa;
    • €€ E_{K(önce)} = E_{K(sonra)} €€
    • €€E_1 + E_2 = {E’}_1+ {E’}_2€€
  2. Sağa kaydırın »»»
    €€ {1\over 2}m_1.v_1^2 +{1\over 2}m_2.v_2^2 = {1\over 2}m_1. {v’}_1^2+ {1\over 2}m_2 . {v’}_2^2 €€

ve denklemlerinden;

€€ \overrightarrow v_1+ \overrightarrow {v’}_1 = \overrightarrow v_2 + \overrightarrow {v’}_2 €€

hız denklemi bulunur. Elde edilen bu eşitlik ile esnek çarpışma yapan cisimlerin hız değerleri ve yönü hakkında yorum yapılabilir.

NOT:
  • Esnek çarpışmalarda, cisimlerin çarpışma öncesi momentum büyüklükleri eşit ve zıt yönlü ise, cisimler kendi hızları ile ters yöne dönerler.
itme ve momentum
NOT:
  • Merkezi esnek çarpışmalarda, kütleler eşit ise, cisimlerin hızları birbiri ile büyüklük ve yön olarak değişir.
itme ve momentum

2. Merkezi Olmayan Esnek Çarpışma

Çarpışan cisimler çarpışmadan önce veya sonra farkllı doğrultularda hareket ediyorsa, bu tür çarpışmalara merkezi olmayan esnek çarpışma denir. Bu çarpışmada momentum ve kinetik enerji korunur. Cisimler çarpışma sonrası şekildeki gibi belirli açılar yaparak birbirinden uzaklaşır.

itme ve momentum

Bu durumda momentum hem yatay hem düşey doğrultuda korunur.

  • X ekseni doğrultusunda momentum korunur.
    • €€ P_1= \overrightarrow {P’}_{1x} + \overrightarrow {P’}_{2x} €€
    • Sağa kaydırın »»»
      €€ P_1= \overrightarrow {P’}_1.cosθ_1 + \overrightarrow {P’}_2.cosθ_2 €€
  • y ekseni doğrultusunda momentum korunur.
  • Çarpışma öncesinde y doğrultusunda momentum sıfırdır.
    • €€ 0= \overrightarrow {P’}_{2y} – \overrightarrow {P’}_{1y} €€
  • Buradan ;
    • €€ \overrightarrow {P’}_{2y} = \overrightarrow {P’}_{1y} €€

NOT:

Durmakta olan bir cisme eşit kütleli başka bir cisim merkezi olmayan esnek çarpışma yaptığında, cisimlerin çarpışma sonrası, arasındaki açıların toplamı 90° olur.

itme ve momentum

Esnek Olmayan Çarpışma

Momentumun korunduğu, kinetik enerjinin korunmadığı çarpışmalara denir. Bu tür çarpışmalarda genelllikle cisimler birbirine yapışarak hareket eder. Esnek olmayan çarpışmalarda sedece momentum korunumu formülünden faydalanarak problem çözülür.

Sürtünmelerin ihmal edildiği ortamda bir ve iki boyutta esnek olmayan çarpışmalarda şekil değişikliği olduğu için kinetik enerji kaybı olur.

itme ve momentum

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan €€m_2€€ kütleli cisme €€m_1€€ kütleli cisim çarptıktan sonra birlikte hareket ederler.

Momentum korunumu yazılır ise;

  • €€ \overrightarrow P_{önce} = \overrightarrow P_{sonra} €€
  • €€m_1. \overrightarrow v_1 – m_2. \overrightarrow v_2 = (m_1 + m_2). \overrightarrow v_{ort}€€ olur.

İki boyutta gerçekleşen esnek olmayan çarpışmada ise esnek çarpışmalarda olduğu gibi x ve y doğrultusunda momentum heaplanır ve bu hesaplama momentum korunumu üzerinden işlem yapılır.

itme ve momentum

Yukarıdaki şekilde cisimler çarpıştıktan sonra birlikte belirtilen yönde hareket etmektedir. Bu durumda momentum korunumu hem x ekseni, hem y ekseni için yazılabilir.

x ekseni için momentum korunumu

  • €€P_{ilk}=P_{son}€€
  • €€P_1=P_{ort.x}€€
  • €€ m_1.v_1 = ( m_1 + m_2 ). v_{ort} .cosθ €€ şeklinde yazılabilir.

y ekseni için momentum korunumu

  • €€P_{ilk}=P_{son}€€
  • €€P_2=P_{ort.y}€€
  • €€m_2.v_2 = (m_1 + m_2).v_{ort}.sinθ€€ şeklinde yazılabilir.

Patlamalar

Yol yapımı çalışmalarında dinamitle patlatılan kayaları düşünelim. Kaya parçaları patlama etkisi ile uzayda birçok yöne saçılır. Fakat biz burada bir ve iki boyutta gerçekleşen olayları inceleyeceğiz.

Bir Boyutta Patlama

itme ve momentum

Yatay düzlemde durmakta olan bir cismin iç patlama sonucu €€m_1 ve m_2€€ kütlelerine ayrılması şeklinde gerçekleşen patlama türüdür.

itme ve momentum

Yukarıda görüldüğü gibi cisim iki parçaya ayrılmıştır ve parçalar farklı yönlerde hareket etmektedir. Oluşan parçaların kütleleri €€m_1,m_2€€ dir. Parçaların hızları zıt yönlüdür ve momentum toplamı sıfır olacak büyüklükte olurlar. Başlangıçta momentum toplamı sıfır olduğu için patlama sonrası momentumların toplamı da sıfır olmalıdır.

Duran cisim: €€V_0=0€€

€€m.V_0=0=m_1.V_1-m_2.V_2€€ ve €€m_1.V_1=m_2.V_2€€ olur. Burada hızların zıt yönlerde olduğu unutulmamalıdır.

Cisim hareket halinde olsaydı: €€V_0 ≠ 0€€

€€m.V_0=m_1.V_1-m_2.V_2€€ şeklinde eşitlik yazılabilir.

İki Boyutta Patlama

Patlama sonucu parçalarına ayrılan cismin parçalarının aynı düzlemde kalmak şartıyla farklı yönlerde hareket etmesine iki boyutta patlama denir.

itme ve momentum

Çizgisel momentum korunumu gereği cismin parçalarının momentumlarının toplamı ilk momentuma eşit olmalıdır.

Hesaplama yapılırken her parçanın x ve y bileşenleri ayrı ayrı hesaplanmalı ve birbiri arasında toplanmalı veya çıkarılmalıdır.

Yukarıdaki şekilde ilk durumda cismin momentumu +x doğrultusunda olduğu için x doğrultusundaki bileşenlerin toplamı bu momentuma eşitlenirken y doğrultusundaki momentumların toplamı sıfıra eşitlenecektir.

Kuvvet ve Hareket Ünitesi Konu Anlatım Serisi

  1. Vektörler
  2. Bağıl Hareket
  3. Newton’un Hareket Yasaları
  4. Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket
  5. İki Boyutta Hareket
  6. Enerji ve Hareket
  7. İtme ve Çizgisel Momentum
  8. Tork
  9. Ağırlık Merkezi ve Kütle Merkezi
  10. Denge ve Denge Şartları
  11. Basit Makineler